Номер 1161, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1161. 1) $\arcsin 1 - \arcsin(-1)$;

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

3) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.

1) $\arcsin 1 - \arcsin(-1)$

По определению арксинуса, $\arcsin x$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Найдем значение $\arcsin 1$. Угол, синус которого равен 1, это $\frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение $\arcsin(-1)$. Угол, синус которого равен -1, это $-\frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Также можно использовать свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Тогда $\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arcsin 1 - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это свойство в выражение:
$\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} - \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.

Другой способ – вычислить каждое значение отдельно.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ можно записать как $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Тогда сумма равна:
$\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Ответ: $0$.

3) $\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого.

$\arcsin\frac{1}{2}$ – это угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$, и он принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$, и он принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{1}{2})$

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Суммируем значения:
$-\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Также можно было заметить, что это выражение является противоположным выражению из пункта 3):
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{1}{2}) = -(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(\frac{1}{2})) = -(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.