Номер 1159, страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1159. Доказать, что если $-1 \le a \le 1$, то $2\arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}} = \arccos a.$

Для доказательства данного тождества введем замену. Пусть $x = \arccos a$.

По определению арккосинуса, это означает, что $\cos x = a$ и $0 \le x \le \pi$.

Условие $-1 \le a \le 1$ является областью определения функции $\arccos a$. Проверим также область определения левой части. Так как $-1 \le a \le 1$, то $0 \le 1+a \le 2$, и $0 \le \frac{1+a}{2} \le 1$. Значит, выражение $\sqrt{\frac{1+a}{2}}$ определено и его значение находится в отрезке $[0, 1]$, что входит в область определения арккосинуса. Таким образом, обе части равенства корректно определены.

Преобразуем левую часть тождества, подставив в нее $a = \cos x$:

$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}} = 2\arccos\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени (формулой косинуса половинного угла):

$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$2\arccos\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}} = 2\arccos\left|\cos\frac{x}{2}\right|$

Теперь определим знак выражения $\cos\frac{x}{2}$. Из условия $0 \le x \le \pi$ следует, что $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$. В этом интервале (I координатная четверть) косинус является неотрицательной функцией, то есть $\cos\frac{x}{2} \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить:

$\left|\cos\frac{x}{2}\right| = \cos\frac{x}{2}$

Выражение принимает вид:

$2\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right)$

Согласно свойству обратных тригонометрических функций, $\arccos(\cos y) = y$ при условии, что $y$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$. В нашем случае $y = \frac{x}{2}$, и мы уже установили, что $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$. Так как отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$ является подмножеством отрезка $[0, \pi]$, мы можем применить это свойство:

$\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$

Подставив результат обратно, получаем:

$2 \cdot \frac{x}{2} = x$

Так как мы изначально положили $x = \arccos a$, мы доказали, что левая часть тождества равна правой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.