Номер 1153, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1153. Найти все корни уравнения $\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $|x| < \frac{\pi}{2}$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $\cos(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения для аргумента $4x$ имеет вид:

$4x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Чтобы найти общее решение для $x$, разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| < \frac{\pi}{2}$, что равносильно двойному неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим каждую из двух серий решений отдельно.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, подставим это выражение в неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{2}$

Разделив все части на $\pi$ и умножив на 16, получим:

$-8 < 1 + 8n < 8$

Вычтем 1 из всех частей:

$-9 < 8n < 7$

Разделим на 8:

$-\frac{9}{8} < n < \frac{7}{8}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=-1$ и $n=0$.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 8\pi}{16} = -\frac{7\pi}{16}$.
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{16}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, также подставим в неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{2}$

Разделив на $\pi$ и умножив на 16, получим:

$-8 < -1 + 8n < 8$

Прибавим 1 ко всем частям:

$-7 < 8n < 9$

Разделим на 8:

$-\frac{7}{8} < n < \frac{9}{8}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{16}$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi + 8\pi}{16} = \frac{7\pi}{16}$.

Объединяя все найденные корни, получаем четыре решения, удовлетворяющих условию.

Ответ: $-\frac{7\pi}{16}; -\frac{\pi}{16}; \frac{\pi}{16}; \frac{7\pi}{16}$.