Страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1145. Сравнить числа:

1) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\arccos\frac{1}{2}$;

2) $\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\arccos(-1)$;

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Для решения этой задачи используется свойство функции $y = \arccos(x)$. Эта функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$, и наоборот, если $x_1 > x_2$, то $\arccos(x_1) < \arccos(x_2)$.

1) Сравнить $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\arccos\frac{1}{2}$.

Сначала сравним аргументы функции арккосинус: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos\frac{1}{2}$.

Для проверки можно вычислить точные значения: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ и $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$. Неравенство $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$ является верным.

Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos\frac{1}{2}$.

2) Сравнить $\arccos(-\frac{3}{4})$ и $\arccos(-1)$.

Сравним аргументы: $-\frac{3}{4}$ и $-1$.

Так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, очевидно, что $-0.75 > -1$, то есть $-\frac{3}{4} > -1$.

В силу убывания функции $\arccos(x)$, из неравенства $-\frac{3}{4} > -1$ следует, что $\arccos(-\frac{3}{4}) < \arccos(-1)$.

Проверка: $\arccos(-1) = \pi$. Значение $\arccos(-\frac{3}{4})$ принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как его аргумент находится между 0 и -1. Следовательно, $\arccos(-\frac{3}{4})$ меньше, чем $\pi$.

Ответ: $\arccos(-\frac{3}{4}) < \arccos(-1)$.

3) Сравнить $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $\arccos(-\frac{1}{2})$.

Сравним аргументы: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} > 1$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{2}$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, из неравенства $-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$ следует, что $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > \arccos(-\frac{1}{2})$.

Для проверки вычислим точные значения: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приводя к общему знаменателю 12, получаем $\frac{9}{12}$ и $\frac{8}{12}$. Так как $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, то $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{3}$. Результат совпадает.

Ответ: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > \arccos(-\frac{1}{2})$.

Решить уравнение (1146-1149).

1146.

1) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $cos x = -\frac{1}{2}$;

3) $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

1)

Дано уравнение: $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos x = a$. Его решение находится по общей формуле: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем арккосинус этого значения. Из таблицы стандартных тригонометрических углов мы знаем, что $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение: $cos x = -\frac{1}{2}$.

Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $cos x = a$: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Сначала найдем $arccos(\frac{1}{2})$. Это табличное значение: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь вычислим $arccos(-\frac{1}{2})$:

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем найденное значение в общую формулу решения:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение: $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Сначала преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь уравнение имеет вид: $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решаем его по общей формуле $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Находим $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это табличное значение: $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычисляем $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1147. 1) $\cos x = \frac{3}{4}$; 2) $\cos x = -\frac{1}{3}$; 3) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Для решения уравнения $cos(x) = \frac{3}{4}$ используется общая формула для уравнений вида $cos(x) = a$:
$x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{3}{4}$. Поскольку $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $\frac{3}{4}$ не является табличным для косинуса, поэтому арккосинус этого числа не упрощается и записывается в явном виде.
Подставляя значение $a$ в формулу, получаем решение.

Ответ: $x = \pm arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $cos(x) = -\frac{1}{3}$ также используем общую формулу $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $a = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$, уравнение имеет решения.
Значение $-\frac{1}{3}$ не является табличным, поэтому ответ записывается через функцию арккосинуса.
Можно также использовать свойство $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$, тогда решение можно записать в эквивалентной форме: $x = \pm \left(\pi - arccos\left(\frac{1}{3}\right)\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Оба варианта записи верны, но первый является более кратким.

Ответ: $x = \pm arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Для решения уравнения $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ применяем ту же общую формулу: $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение.
Найдем значение $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Воспользуемся свойством $arccos(-z) = \pi - arccos(z)$.
Мы знаем из таблицы тригонометрических значений, что $arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Теперь подставим найденное значение в общую формулу решения.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1148. 1) $ \cos 4x = 1; $

2) $ \cos 2x = -1; $

3) $ \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = -1; $

4) $ 2 \cos \frac{x}{3} = \sqrt{3}; $

5) $ \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 0; $

6) $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 0. $

1) Дано уравнение $cos(4x) = 1$.
Это частный случай решения тригонометрических уравнений. Равенство $cos(t) = 1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $2\pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in Z$).
В нашем случае $t = 4x$.
$4x = 2\pi k$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{2\pi k}{4}$
$x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

2) Дано уравнение $cos(2x) = -1$.
Это частный случай. Равенство $cos(t) = -1$ выполняется, когда аргумент $t$ равен $\pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
В данном уравнении $t = 2x$.
$2x = \pi + 2\pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{2}$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

3) Дано уравнение $\sqrt{2} \cos\frac{x}{4} = -1$.
Сначала выразим $\cos\frac{x}{4}$:
$\cos\frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель: $\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = \frac{x}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значения:
$\frac{x}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$
Умножим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = 4 \cdot (\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k)$
$x = \pm 3\pi + 8\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pm 3\pi + 8\pi k, k \in Z$.

4) Дано уравнение $2 \cos\frac{x}{3} = \sqrt{3}$.
Выразим $\cos\frac{x}{3}$:
$\cos\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем:
$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Умножим обе части на 3:
$x = 3 \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k)$
$x = \pm \frac{3\pi}{6} + 6\pi k$
$x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + 6\pi k, k \in Z$.

5) Дано уравнение $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Это частный случай. Равенство $\cos(t) = 0$ выполняется, когда $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{3}$.
$x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Выразим $x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$x = \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

6) Дано уравнение $\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = 0$.
Это частный случай, когда $\cos(t) = 0$. Решение имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.
Здесь $t = 2x - \frac{\pi}{4}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$2x = \frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k$
$2x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$.

1149. 1) $\cos x \cos3x = \sin3x \sin x;$

2) $\cos2x \cos x + \sin2x \sin x = 0.$

1) Решим уравнение $cos(x)cos(3x) = sin(3x)sin(x)$.

Для начала перенесем все члены уравнения в левую часть:

$cos(x)cos(3x) - sin(3x)sin(x) = 0$

Поменяем местами множители для удобства:

$cos(3x)cos(x) - sin(3x)sin(x) = 0$

Левая часть этого уравнения является развернутой формулой косинуса суммы двух углов, которая выглядит так: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = x$. Применим формулу, чтобы "свернуть" выражение:

$cos(3x + x) = 0$

$cos(4x) = 0$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(y) = 0$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

Применительно к нашему случаю, где $y = 4x$:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z$.

2) Решим уравнение $cos(2x)cos(x) + sin(2x)sin(x) = 0$.

Левая часть этого уравнения соответствует формуле косинуса разности двух углов: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу:

$cos(2x - x) = 0$

$cos(x) = 0$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$.

1150. Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $arccos(\sqrt{6} - 3)$;

2) $arccos(\sqrt{7} - 2)$;

3) $arccos(2 - \sqrt{10})$;

4) $arccos(1 - \sqrt{5})$;

5) $tg(3arccos(\frac{1}{2}))$;

6) $arccos(cos3)$.

Для того чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение, нужно проверить, принадлежат ли аргументы функций их областям определения.

1) $\arccos(\sqrt{6} - 3)$

Выражение $\arccos(x)$ определено (имеет смысл) при условии, что его аргумент $x$ находится в пределах отрезка $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.

В данном случае $x = \sqrt{6} - 3$. Оценим значение этого выражения. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{6} < 3$. Для более точной оценки: $2.4^2 = 5.76$ и $2.5^2 = 6.25$, значит $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $2.4 - 3 < \sqrt{6} - 3 < 2.5 - 3$, что дает $-0.6 < \sqrt{6} - 3 < -0.5$.

Поскольку значение $\sqrt{6} - 3$ находится в интервале $(-0.6, -0.5)$, который полностью входит в отрезок $[-1, 1]$, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\arccos(\sqrt{7} - 2)$

Проверяем условие $-1 \le \sqrt{7} - 2 \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$. Для более точной оценки: $2.6^2 = 6.76$ и $2.7^2 = 7.29$, значит $2.6 < \sqrt{7} < 2.7$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $2.6 - 2 < \sqrt{7} - 2 < 2.7 - 2$, что дает $0.6 < \sqrt{7} - 2 < 0.7$.

Значение $\sqrt{7} - 2$ находится в интервале $(0.6, 0.7)$, который полностью входит в отрезок $[-1, 1]$, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\arccos(2 - \sqrt{10})$

Проверяем условие $-1 \le 2 - \sqrt{10} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{10}$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, следовательно, $3 < \sqrt{10} < 4$.

Проверим левую часть неравенства: $ -1 \le 2 - \sqrt{10}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{10} \le 3$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{10})^2 \le 3^2$, что дает $10 \le 9$. Это неверно. Значит, $2 - \sqrt{10} < -1$.

Поскольку аргумент $2 - \sqrt{10}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\arccos(1 - \sqrt{5})$

Проверяем условие $-1 \le 1 - \sqrt{5} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$.

Проверим левую часть неравенства: $-1 \le 1 - \sqrt{5}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{5} \le 2$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{5})^2 \le 2^2$, что дает $5 \le 4$. Это неверно. Значит, $1 - \sqrt{5} < -1$.

Поскольку аргумент $1 - \sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{tg}(3\arccos\frac{1}{2})$

Сначала нужно убедиться, что внутреннее выражение $\arccos\frac{1}{2}$ имеет смысл. Так как $\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, арккосинус определен.

Вычислим его значение: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\text{tg}(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\pi)$.

Функция $\text{tg}(y)$ определена для всех $y$, кроме тех, где $\cos(y) = 0$. Это происходит при $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

В нашем случае $y = \pi$. Так как $\pi \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ ни для какого целого $k$, функция $\text{tg}(\pi)$ определена (ее значение равно 0).

Следовательно, все выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

6) $\arccos(\cos3)$

Выражение $\arccos(x)$ определено, если $-1 \le x \le 1$. В данном случае $x = \cos3$.

Область значений функции косинус, $\cos(y)$, для любого действительного аргумента $y$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Поскольку значение $\cos3$ всегда лежит в пределах отрезка $[-1, 1]$, аргумент арккосинуса корректен.

Следовательно, выражение $\arccos(\cos3)$ имеет смысл. (Угол 3 считается в радианах. Так как $0 < 3 < \pi \approx 3.14$, то $\arccos(\cos3) = 3$).

Ответ: имеет смысл.

1151. Решить уравнение:

1) $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x;$ 2) $4\cos^2 x = 3;$

3) $2 \cos^2 x = 1 + 2\sin^2 x;$ 4) $2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2};$

5) $(1 + \cos x)(3 - 2\cos x) = 0;$ 6) $(1 - \cos x)(4 + 3\cos2x) = 0;$

7) $(1 + 2\cos x)(1 - 3\cos x) = 0;$ 8) $(3 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0.$

1) Дано уравнение $cos^2{2x} = 1 + sin^2{2x}$. Перенесем $sin^2{2x}$ в левую часть уравнения: $cos^2{2x} - sin^2{2x} = 1$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2α) = cos^2{α} - sin^2{α}$. Применив эту формулу для $α = 2x$, получим: $cos(2 \cdot 2x) = 1$ $cos(4x) = 1$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид: $4x = 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделив обе части на 4, находим $x$: $x = \frac{2πn}{4} = \frac{πn}{2}$. Ответ: $x = \frac{πn}{2}, n \in ℤ$.

2) Дано уравнение $4cos^2{x} = 3$. Разделим обе части на 4: $cos^2{x} = \frac{3}{4}$. Это уравнение распадается на два: $cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этих уравнений можно записать в виде: $x = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{6} + 2πn, n \in ℤ$. $x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πk = \pm \frac{5π}{6} + 2πk, k \in ℤ$. Эти две серии решений можно объединить в одну формулу: $x = \pm \frac{π}{6} + πm, m \in ℤ$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{6} + πn, n \in ℤ$.

3) Дано уравнение $2cos^2{x} = 1 + 2sin^2{x}$. Перенесем $2sin^2{x}$ в левую часть: $2cos^2{x} - 2sin^2{x} = 1$. Вынесем 2 за скобки: $2(cos^2{x} - sin^2{x}) = 1$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2{x} - sin^2{x}$: $2cos(2x) = 1$. $cos(2x) = \frac{1}{2}$. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $2x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{3} + 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделим на 2: $x = \pm \frac{π}{6} + πn$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{6} + πn, n \in ℤ$.

4) Дано уравнение $2\sqrt{2}cos^2{x} = 1 + \sqrt{2}$. Выразим $cos^2{x}$: $cos^2{x} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$. Используем формулу понижения степени $cos^2{x} = \frac{1 + cos(2x)}{2}$: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$. Умножим обе части на 2: $1 + cos(2x) = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$. $cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решаем уравнение: $2x = \pm arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{4} + 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделим на 2: $x = \pm \frac{π}{8} + πn$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{8} + πn, n \in ℤ$.

5) Дано уравнение $(1 + cos{x})(3 - 2cos{x}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $1 + cos{x} = 0 \Rightarrow cos{x} = -1$. Решение: $x = π + 2πn, n \in ℤ$. 2) $3 - 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = 3 \Rightarrow cos{x} = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|cos{x}| \le 1$. Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней. Ответ: $x = π + 2πn, n \in ℤ$.

6) Дано уравнение $(1 - cos{x})(4 + 3cos{2x}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $1 - cos{x} = 0 \Rightarrow cos{x} = 1$. Решение: $x = 2πn, n \in ℤ$. 2) $4 + 3cos{2x} = 0 \Rightarrow 3cos{2x} = -4 \Rightarrow cos{2x} = -\frac{4}{3}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|cos{2x}| \le 1$. Решением исходного уравнения является только первая серия корней. Ответ: $x = 2πn, n \in ℤ$.

7) Дано уравнение $(1 + 2cos{x})(1 - 3cos{x}) = 0$. Рассмотрим два случая: 1) $1 + 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = -1 \Rightarrow cos{x} = -\frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2πn = \pm \frac{2π}{3} + 2πn, n \in ℤ$. 2) $1 - 3cos{x} = 0 \Rightarrow 3cos{x} = 1 \Rightarrow cos{x} = \frac{1}{3}$. Решение: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2πk, k \in ℤ$. Общее решение является объединением этих двух серий. Ответ: $x = \pm \frac{2π}{3} + 2πn, x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2πk$, где $n, k \in ℤ$.

8) Дано уравнение $(3 - 2cos{x})(2 + 3cos{x}) = 0$. Рассмотрим два случая: 1) $3 - 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = 3 \Rightarrow cos{x} = \frac{3}{2}$. Уравнение не имеет решений, так как $1.5 > 1$. 2) $2 + 3cos{x} = 0 \Rightarrow 3cos{x} = -2 \Rightarrow cos{x} = -\frac{2}{3}$. Решение: $x = \pm arccos(-\frac{2}{3}) + 2πn, n \in ℤ$. Решением исходного уравнения является только вторая серия корней. Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{2}{3}) + 2πn, n \in ℤ$.

1152. Найти все корни уравнения $\cos 2x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Данную задачу можно решить в два этапа: сначала найти общее решение тригонометрического уравнения, а затем отобрать те корни, которые принадлежат заданному отрезку.

1. Нахождение общего решения уравнения

Сначала решим уравнение $cos(2x) = -\frac{1}{2}$ в общем виде.

Общее решение для уравнения вида $cos(t) = a$ записывается по формуле $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае аргумент $t = 2x$ и значение $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса для данного числа: $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это равенство представляет собой совокупность двух серий решений:
1) $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
2) $2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, разделим обе части каждого уравнения на 2:
1) $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$
2) $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$

2. Отбор корней на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному отрезку. Для этого для каждой из двух серий решений найдем подходящие целые значения $k$ с помощью двойных неравенств.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:
Составим и решим неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$
Вычтем $\frac{1}{3}$ из всех частей:
$-\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3}$
$-\frac{5}{6} \le k \le \frac{13}{6}$
Учитывая, что $k$ — целое число, подходящие значения $k$ это $0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$:
Составим и решим неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} \le -\frac{1}{3} + k \le \frac{5}{2}$
Прибавим $\frac{1}{3}$ ко всем частям:
$-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{2} + \frac{1}{3}$
$-\frac{1}{6} \le k \le \frac{17}{6}$
Учитывая, что $k$ — целое число, подходящие значения $k$ это $0, 1, 2$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$.
При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.
При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

Объединив все найденные корни из обеих серий и расположив их в порядке возрастания, мы получаем итоговый набор решений на заданном отрезке.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.

1153. Найти все корни уравнения $\cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $|x| < \frac{\pi}{2}$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение $\cos(4x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение этого уравнения для аргумента $4x$ имеет вид:

$4x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Поскольку $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Чтобы найти общее решение для $x$, разделим обе части на 4:

$x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $|x| < \frac{\pi}{2}$, что равносильно двойному неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

Рассмотрим каждую из двух серий решений отдельно.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, подставим это выражение в неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{2}$

Разделив все части на $\pi$ и умножив на 16, получим:

$-8 < 1 + 8n < 8$

Вычтем 1 из всех частей:

$-9 < 8n < 7$

Разделим на 8:

$-\frac{9}{8} < n < \frac{7}{8}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=-1$ и $n=0$.
При $n=-1$, $x = \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 8\pi}{16} = -\frac{7\pi}{16}$.
При $n=0$, $x = \frac{\pi}{16}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, также подставим в неравенство:

$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{2}$

Разделив на $\pi$ и умножив на 16, получим:

$-8 < -1 + 8n < 8$

Прибавим 1 ко всем частям:

$-7 < 8n < 9$

Разделим на 8:

$-\frac{7}{8} < n < \frac{9}{8}$

Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$, $x = -\frac{\pi}{16}$.
При $n=1$, $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi + 8\pi}{16} = \frac{7\pi}{16}$.

Объединяя все найденные корни, получаем четыре решения, удовлетворяющих условию.

Ответ: $-\frac{7\pi}{16}; -\frac{\pi}{16}; \frac{\pi}{16}; \frac{7\pi}{16}$.

1154. Решить уравнение:

1) $\arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{3};$

2) $\arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}.$

1) Дано уравнение: $arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $cos(b) = a$. При этом должно выполняться условие, что аргумент арккосинуса $a$ находится в промежутке $[-1, 1]$, а значение $b$ — в промежутке $[0, \pi]$.

В нашем случае, значение $\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[0, \pi]$, поэтому уравнение может иметь решение. Применим определение арккосинуса:

$2x - 3 = \cos(\frac{\pi}{3})$

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

$2x - 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 3 + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{4}$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x$ в аргумент исходного арккосинуса, чтобы убедиться, что он находится в допустимом диапазоне $[-1, 1]$.

$2x - 3 = 2(\frac{7}{4}) - 3 = \frac{7}{2} - 3 = \frac{7}{2} - \frac{6}{2} = \frac{1}{2}$

Поскольку значение $\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, найденный корень является верным.

Ответ: $\frac{7}{4}$

2) Дано уравнение: $arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением арккосинуса. Значение $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит области значений арккосинуса $[0, \pi]$, значит, решение существует.

$\frac{x+1}{3} = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Вычислим значение косинуса. Используя формулу приведения, получаем:

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на 3:

$x+1 = 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$x+1 = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} - 1$

$x = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Выполним проверку. Подставим найденный корень в аргумент арккосинуса:

$\frac{x+1}{3} = \frac{-\frac{5}{2}+1}{3} = \frac{-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$

Значение $-\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, следовательно, найденный корень верен.

Ответ: $-\frac{5}{2}$

1155. Доказать, что при всех значениях $a$, таких, что $-1 \le a \le 1$, выполняется равенство $\cos(\arccos a) = a$. Вычислить:

1) $\cos(\arccos 0,2)$;

2) $\cos\left(\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right)$;

3) $\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right)$;

4) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right)$;

5) $\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right)$;

6) $\text{tg}\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.

Доказательство равенства $\cos(\arccos a) = a$

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. $\cos \alpha = a$
2. $0 \le \alpha \le \pi$

Это определение имеет смысл только для $a$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$, так как это область значений функции косинус.

Рассмотрим выражение $\cos(\arccos a)$. Пусть $\alpha = \arccos a$. Тогда, согласно первому пункту определения, $\cos \alpha = a$. Если мы подставим $\arccos a$ обратно вместо $\alpha$, мы получим:

$\cos(\arccos a) = a$.

Это равенство является прямым следствием определения функции арккосинус и выполняется для всех $a$ из её области определения, то есть для $-1 \le a \le 1$. Что и требовалось доказать.

Вычисления:

1) $\cos(\arccos 0,2)$

Применяем доказанное выше тождество $\cos(\arccos a) = a$. В данном случае $a = 0,2$. Условие $-1 \le 0,2 \le 1$ выполняется.

$\cos(\arccos 0,2) = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

2) $\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$

Аналогично, применяем тождество $\cos(\arccos a) = a$ для $a = -\frac{2}{3}$. Условие $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$ выполняется.

$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

3) $\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right)$

Используем формулу приведения для косинуса: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{4}$. Тогда выражение принимает вид:

$\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos\frac{3}{4}\right)$.

Теперь, используя тождество $\cos(\arccos a) = a$, получаем:

$-\cos\left(\arccos\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right)$

Используем формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. Тогда:

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos\frac{1}{3}\right)$.

Применяя тождество $\cos(\arccos a) = a$, находим:

$\cos\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Чтобы найти $\sin \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Следовательно, $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, синус в этом интервале неотрицателен ($\sin \alpha \ge 0$). Поэтому мы выбираем положительное значение.

$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

6) $\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$. Это означает, что $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$, который равен $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, $\sin \alpha \ge 0$, значит $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Теперь вычисляем тангенс:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.