Номер 1145, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1145. Сравнить числа:

1) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\arccos\frac{1}{2}$;

2) $\arccos\left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\arccos(-1)$;

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

Для решения этой задачи используется свойство функции $y = \arccos(x)$. Эта функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$, и наоборот, если $x_1 > x_2$, то $\arccos(x_1) < \arccos(x_2)$.

1) Сравнить $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\arccos\frac{1}{2}$.

Сначала сравним аргументы функции арккосинус: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos\frac{1}{2}$.

Для проверки можно вычислить точные значения: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ и $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$. Неравенство $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$ является верным.

Ответ: $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} < \arccos\frac{1}{2}$.

2) Сравнить $\arccos(-\frac{3}{4})$ и $\arccos(-1)$.

Сравним аргументы: $-\frac{3}{4}$ и $-1$.

Так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, очевидно, что $-0.75 > -1$, то есть $-\frac{3}{4} > -1$.

В силу убывания функции $\arccos(x)$, из неравенства $-\frac{3}{4} > -1$ следует, что $\arccos(-\frac{3}{4}) < \arccos(-1)$.

Проверка: $\arccos(-1) = \pi$. Значение $\arccos(-\frac{3}{4})$ принадлежит интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как его аргумент находится между 0 и -1. Следовательно, $\arccos(-\frac{3}{4})$ меньше, чем $\pi$.

Ответ: $\arccos(-\frac{3}{4}) < \arccos(-1)$.

3) Сравнить $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $\arccos(-\frac{1}{2})$.

Сравним аргументы: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} > 1$. Умножим обе части неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{2}$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, из неравенства $-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$ следует, что $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > \arccos(-\frac{1}{2})$.

Для проверки вычислим точные значения: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ и $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приводя к общему знаменателю 12, получаем $\frac{9}{12}$ и $\frac{8}{12}$. Так как $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, то $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{3}$. Результат совпадает.

Ответ: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > \arccos(-\frac{1}{2})$.