Номер 1151, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1151. Решить уравнение:

1) $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x;$ 2) $4\cos^2 x = 3;$

3) $2 \cos^2 x = 1 + 2\sin^2 x;$ 4) $2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2};$

5) $(1 + \cos x)(3 - 2\cos x) = 0;$ 6) $(1 - \cos x)(4 + 3\cos2x) = 0;$

7) $(1 + 2\cos x)(1 - 3\cos x) = 0;$ 8) $(3 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0.$

1) Дано уравнение $cos^2{2x} = 1 + sin^2{2x}$. Перенесем $sin^2{2x}$ в левую часть уравнения: $cos^2{2x} - sin^2{2x} = 1$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2α) = cos^2{α} - sin^2{α}$. Применив эту формулу для $α = 2x$, получим: $cos(2 \cdot 2x) = 1$ $cos(4x) = 1$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид: $4x = 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделив обе части на 4, находим $x$: $x = \frac{2πn}{4} = \frac{πn}{2}$. Ответ: $x = \frac{πn}{2}, n \in ℤ$.

2) Дано уравнение $4cos^2{x} = 3$. Разделим обе части на 4: $cos^2{x} = \frac{3}{4}$. Это уравнение распадается на два: $cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos{x} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этих уравнений можно записать в виде: $x = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{6} + 2πn, n \in ℤ$. $x = \pm arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2πk = \pm \frac{5π}{6} + 2πk, k \in ℤ$. Эти две серии решений можно объединить в одну формулу: $x = \pm \frac{π}{6} + πm, m \in ℤ$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{6} + πn, n \in ℤ$.

3) Дано уравнение $2cos^2{x} = 1 + 2sin^2{x}$. Перенесем $2sin^2{x}$ в левую часть: $2cos^2{x} - 2sin^2{x} = 1$. Вынесем 2 за скобки: $2(cos^2{x} - sin^2{x}) = 1$. Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2{x} - sin^2{x}$: $2cos(2x) = 1$. $cos(2x) = \frac{1}{2}$. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $2x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{3} + 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделим на 2: $x = \pm \frac{π}{6} + πn$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{6} + πn, n \in ℤ$.

4) Дано уравнение $2\sqrt{2}cos^2{x} = 1 + \sqrt{2}$. Выразим $cos^2{x}$: $cos^2{x} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$. Используем формулу понижения степени $cos^2{x} = \frac{1 + cos(2x)}{2}$: $\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$. Умножим обе части на 2: $1 + cos(2x) = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$. $cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решаем уравнение: $2x = \pm arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2πn = \pm \frac{π}{4} + 2πn$, где $n \in ℤ$. Разделим на 2: $x = \pm \frac{π}{8} + πn$. Ответ: $x = \pm \frac{π}{8} + πn, n \in ℤ$.

5) Дано уравнение $(1 + cos{x})(3 - 2cos{x}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $1 + cos{x} = 0 \Rightarrow cos{x} = -1$. Решение: $x = π + 2πn, n \in ℤ$. 2) $3 - 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = 3 \Rightarrow cos{x} = \frac{3}{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|cos{x}| \le 1$. Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней. Ответ: $x = π + 2πn, n \in ℤ$.

6) Дано уравнение $(1 - cos{x})(4 + 3cos{2x}) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. 1) $1 - cos{x} = 0 \Rightarrow cos{x} = 1$. Решение: $x = 2πn, n \in ℤ$. 2) $4 + 3cos{2x} = 0 \Rightarrow 3cos{2x} = -4 \Rightarrow cos{2x} = -\frac{4}{3}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|cos{2x}| \le 1$. Решением исходного уравнения является только первая серия корней. Ответ: $x = 2πn, n \in ℤ$.

7) Дано уравнение $(1 + 2cos{x})(1 - 3cos{x}) = 0$. Рассмотрим два случая: 1) $1 + 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = -1 \Rightarrow cos{x} = -\frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2πn = \pm \frac{2π}{3} + 2πn, n \in ℤ$. 2) $1 - 3cos{x} = 0 \Rightarrow 3cos{x} = 1 \Rightarrow cos{x} = \frac{1}{3}$. Решение: $x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2πk, k \in ℤ$. Общее решение является объединением этих двух серий. Ответ: $x = \pm \frac{2π}{3} + 2πn, x = \pm arccos(\frac{1}{3}) + 2πk$, где $n, k \in ℤ$.

8) Дано уравнение $(3 - 2cos{x})(2 + 3cos{x}) = 0$. Рассмотрим два случая: 1) $3 - 2cos{x} = 0 \Rightarrow 2cos{x} = 3 \Rightarrow cos{x} = \frac{3}{2}$. Уравнение не имеет решений, так как $1.5 > 1$. 2) $2 + 3cos{x} = 0 \Rightarrow 3cos{x} = -2 \Rightarrow cos{x} = -\frac{2}{3}$. Решение: $x = \pm arccos(-\frac{2}{3}) + 2πn, n \in ℤ$. Решением исходного уравнения является только вторая серия корней. Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{2}{3}) + 2πn, n \in ℤ$.