Номер 1156, страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1156. Доказать, что $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$. Вычислить:

1) $5\arccos\left(\cos \frac{\pi}{10}\right)$;

2) $3\arccos(\cos 2)$;

3) $\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)$;

4) $\arccos(\cos 4)$.

Доказательство того, что $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$.

По определению арккосинуса, $\arccos(x)$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[0, \pi]$, что $\cos(y) = x$.

Пусть $y = \arccos(\cos \alpha)$.

Согласно определению, это означает, что:

1. $\cos(y) = \cos(\alpha)$
2. $0 \le y \le \pi$

В условии задачи дано, что $0 \le \alpha \le \pi$.

Поскольку и $\alpha$, и $y$ принадлежат отрезку $[0, \pi]$, на котором функция косинуса является монотонно убывающей (а значит, каждое свое значение принимает только один раз), из равенства $\cos(y) = \cos(\alpha)$ следует, что $y = \alpha$.

Таким образом, доказано, что $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$.

Вычисления:

Для вычисления выражений мы будем использовать доказанное тождество. Если аргумент косинуса $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, необходимо сначала найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, для которого $\cos(\beta) = \cos(\alpha)$. Для этого используются свойства четности $\cos(x) = \cos(-x)$ и периодичности $\cos(x) = \cos(x + 2\pi k)$ функции косинус, где $k$ — любое целое число. Чаще всего используется следствие этих свойств: $\cos(x) = \cos(2\pi-x)$.

1) $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})$
Аргумент косинуса $\alpha = \frac{\pi}{10}$. Проверим, принадлежит ли он отрезку $[0, \pi]$.
Так как $0 \le \frac{\pi}{10} \le \pi$, мы можем применить тождество $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$.
Следовательно, $\arccos(\cos\frac{\pi}{10}) = \frac{\pi}{10}$.
Тогда искомое значение равно: $5 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) $3\arccos(\cos 2)$
Аргумент косинуса $\alpha = 2$ (радианы). Оценим значение $\pi \approx 3.14159$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha = 2$ отрезку $[0, \pi]$.
Так как $0 \le 2 \le \pi$, мы можем применить тождество $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$.
Следовательно, $\arccos(\cos 2) = 2$.
Тогда искомое значение равно: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: $6$

3) $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7})$
Аргумент косинуса $\alpha = \frac{8\pi}{7}$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha$ отрезку $[0, \pi]$.
$\frac{8\pi}{7} > \frac{7\pi}{7} = \pi$, значит, $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Нам нужно найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, что $\cos(\beta) = \cos(\frac{8\pi}{7})$.
Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.
Пусть $\beta = 2\pi - \frac{8\pi}{7} = \frac{14\pi - 8\pi}{7} = \frac{6\pi}{7}$.
Проверим, принадлежит ли $\beta = \frac{6\pi}{7}$ отрезку $[0, \pi]$.
Неравенство $0 \le \frac{6\pi}{7} \le \pi$ является верным.
Следовательно, $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7}) = \arccos(\cos\frac{6\pi}{7}) = \frac{6\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{6\pi}{7}$

4) $\arccos(\cos 4)$
Аргумент косинуса $\alpha = 4$ (радианы). Оценим значение $\pi \approx 3.14159$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha = 4$ отрезку $[0, \pi]$.
$4 > \pi$, значит, $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Нам нужно найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, что $\cos(\beta) = \cos(4)$.
Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.
Пусть $\beta = 2\pi - 4$.
Оценим значение $\beta$: $2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14159 - 4 = 6.28318 - 4 = 2.28318$.
Проверим, принадлежит ли $\beta = 2\pi - 4$ отрезку $[0, \pi]$.
Неравенство $0 \le 2\pi - 4 \le \pi$ является верным, так как $0 \le 2.28318 \le 3.14159$.
Следовательно, $\arccos(\cos 4) = \arccos(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
Ответ: $2\pi - 4$