Страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1156. Доказать, что $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$. Вычислить:

1) $5\arccos\left(\cos \frac{\pi}{10}\right)$;

2) $3\arccos(\cos 2)$;

3) $\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)$;

4) $\arccos(\cos 4)$.

Доказательство того, что $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$.

По определению арккосинуса, $\arccos(x)$ — это такое число (угол) $y$ из отрезка $[0, \pi]$, что $\cos(y) = x$.

Пусть $y = \arccos(\cos \alpha)$.

Согласно определению, это означает, что:

1. $\cos(y) = \cos(\alpha)$
2. $0 \le y \le \pi$

В условии задачи дано, что $0 \le \alpha \le \pi$.

Поскольку и $\alpha$, и $y$ принадлежат отрезку $[0, \pi]$, на котором функция косинуса является монотонно убывающей (а значит, каждое свое значение принимает только один раз), из равенства $\cos(y) = \cos(\alpha)$ следует, что $y = \alpha$.

Таким образом, доказано, что $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$.

Вычисления:

Для вычисления выражений мы будем использовать доказанное тождество. Если аргумент косинуса $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, необходимо сначала найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, для которого $\cos(\beta) = \cos(\alpha)$. Для этого используются свойства четности $\cos(x) = \cos(-x)$ и периодичности $\cos(x) = \cos(x + 2\pi k)$ функции косинус, где $k$ — любое целое число. Чаще всего используется следствие этих свойств: $\cos(x) = \cos(2\pi-x)$.

1) $5\arccos(\cos\frac{\pi}{10})$
Аргумент косинуса $\alpha = \frac{\pi}{10}$. Проверим, принадлежит ли он отрезку $[0, \pi]$.
Так как $0 \le \frac{\pi}{10} \le \pi$, мы можем применить тождество $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$.
Следовательно, $\arccos(\cos\frac{\pi}{10}) = \frac{\pi}{10}$.
Тогда искомое значение равно: $5 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) $3\arccos(\cos 2)$
Аргумент косинуса $\alpha = 2$ (радианы). Оценим значение $\pi \approx 3.14159$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha = 2$ отрезку $[0, \pi]$.
Так как $0 \le 2 \le \pi$, мы можем применить тождество $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$.
Следовательно, $\arccos(\cos 2) = 2$.
Тогда искомое значение равно: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: $6$

3) $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7})$
Аргумент косинуса $\alpha = \frac{8\pi}{7}$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha$ отрезку $[0, \pi]$.
$\frac{8\pi}{7} > \frac{7\pi}{7} = \pi$, значит, $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Нам нужно найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, что $\cos(\beta) = \cos(\frac{8\pi}{7})$.
Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.
Пусть $\beta = 2\pi - \frac{8\pi}{7} = \frac{14\pi - 8\pi}{7} = \frac{6\pi}{7}$.
Проверим, принадлежит ли $\beta = \frac{6\pi}{7}$ отрезку $[0, \pi]$.
Неравенство $0 \le \frac{6\pi}{7} \le \pi$ является верным.
Следовательно, $\arccos(\cos\frac{8\pi}{7}) = \arccos(\cos\frac{6\pi}{7}) = \frac{6\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{6\pi}{7}$

4) $\arccos(\cos 4)$
Аргумент косинуса $\alpha = 4$ (радианы). Оценим значение $\pi \approx 3.14159$.
Проверим, принадлежит ли $\alpha = 4$ отрезку $[0, \pi]$.
$4 > \pi$, значит, $\alpha$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
Нам нужно найти такое число $\beta \in [0, \pi]$, что $\cos(\beta) = \cos(4)$.
Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.
Пусть $\beta = 2\pi - 4$.
Оценим значение $\beta$: $2\pi - 4 \approx 2 \cdot 3.14159 - 4 = 6.28318 - 4 = 2.28318$.
Проверим, принадлежит ли $\beta = 2\pi - 4$ отрезку $[0, \pi]$.
Неравенство $0 \le 2\pi - 4 \le \pi$ является верным, так как $0 \le 2.28318 \le 3.14159$.
Следовательно, $\arccos(\cos 4) = \arccos(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.
Ответ: $2\pi - 4$

1157. Вычислить:

1) $\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$;

2) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right)$.

1) $\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Из определения арккосинуса следует, что $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $\cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Также, по определению, углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, на котором синус является неотрицательной функцией ($\sin\alpha \ge 0$ и $\sin\beta \ge 0$).

Найдем синусы этих углов, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу синуса суммы:
$\sin\left(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Замечание: Если обозначить $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$, то из вычислений выше $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Поскольку $\cos\alpha > 0$, то $\alpha \in [0, \pi/2]$, и значит $\alpha = \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Тогда выражение принимает вид $\sin\left(\arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. Используя тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, получаем $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Ответ: 1.

2) $\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right)$

Воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$. Из определения арккосинуса следует, что $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\beta = \frac{3}{5}$. Углы $\alpha$ и $\beta$ принадлежат промежутку $[0; \pi]$, поэтому их синусы неотрицательны.

Найдем синусы этих углов из тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$:
$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Подставим найденные значения в формулу косинуса разности:
$\cos\left(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}\right) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.

Замечание: Обозначим $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{3}{5}$. Из вычислений выше $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Так как $\cos\alpha>0$, то $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$. Используя тождество $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, имеем $\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{3}{5} = \frac{\pi}{2}$, что равносильно $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$. Отсюда $\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$. Искомое выражение: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \beta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\beta\right) = \sin(2\beta) = 2\sin\beta\cos\beta = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$.

1158. Упростить выражение $ \cos(2\arccos a) $, если $ -1 \le a \le 1 $.

Для того чтобы упростить выражение $cos(2arccos(a))$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Существует три варианта этой формулы:

• $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$
• $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$
• $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$

Наиболее удобной в данном случае является вторая формула, так как она содержит только косинус.

Применим формулу $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$, подставив в нее $x = arccos(a)$.

$cos(2arccos(a)) = 2cos^2(arccos(a)) - 1$

Выражение $cos^2(arccos(a))$ можно записать как $(cos(arccos(a)))^2$.

По определению арккосинуса, $arccos(a)$ — это такой угол, косинус которого равен $a$. Условие $-1 \le a \le 1$ обеспечивает, что арккосинус для данного $a$ существует. Таким образом, по определению обратной тригонометрической функции, мы имеем:

$cos(arccos(a)) = a$

Теперь подставим это значение обратно в наше преобразованное выражение:

$2(cos(arccos(a)))^2 - 1 = 2(a)^2 - 1 = 2a^2 - 1$

Таким образом, исходное выражение $cos(2arccos(a))$ равно $2a^2 - 1$.

Ответ: $2a^2 - 1$

1159. Доказать, что если $-1 \le a \le 1$, то $2\arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}} = \arccos a.$

Для доказательства данного тождества введем замену. Пусть $x = \arccos a$.

По определению арккосинуса, это означает, что $\cos x = a$ и $0 \le x \le \pi$.

Условие $-1 \le a \le 1$ является областью определения функции $\arccos a$. Проверим также область определения левой части. Так как $-1 \le a \le 1$, то $0 \le 1+a \le 2$, и $0 \le \frac{1+a}{2} \le 1$. Значит, выражение $\sqrt{\frac{1+a}{2}}$ определено и его значение находится в отрезке $[0, 1]$, что входит в область определения арккосинуса. Таким образом, обе части равенства корректно определены.

Преобразуем левую часть тождества, подставив в нее $a = \cos x$:

$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}} = 2\arccos\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

Воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени (формулой косинуса половинного угла):

$\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$2\arccos\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}} = 2\arccos\left|\cos\frac{x}{2}\right|$

Теперь определим знак выражения $\cos\frac{x}{2}$. Из условия $0 \le x \le \pi$ следует, что $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$. В этом интервале (I координатная четверть) косинус является неотрицательной функцией, то есть $\cos\frac{x}{2} \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить:

$\left|\cos\frac{x}{2}\right| = \cos\frac{x}{2}$

Выражение принимает вид:

$2\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right)$

Согласно свойству обратных тригонометрических функций, $\arccos(\cos y) = y$ при условии, что $y$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$. В нашем случае $y = \frac{x}{2}$, и мы уже установили, что $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$. Так как отрезок $[0, \frac{\pi}{2}]$ является подмножеством отрезка $[0, \pi]$, мы можем применить это свойство:

$\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2}$

Подставив результат обратно, получаем:

$2 \cdot \frac{x}{2} = x$

Так как мы изначально положили $x = \arccos a$, мы доказали, что левая часть тождества равна правой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.