Страница 335 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1180–1181).

1180. 1) $ \operatorname{arctg} 0 $; 2) $ \operatorname{arctg}(-1) $; 3) $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $; 4) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3} $.

1) Арктангенс числа $a$ (обозначается $\text{arctg } a$) — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = a$. Нам нужно найти $\text{arctg } 0$. Это значит, что мы ищем угол $\alpha$, такой что $\text{tg } \alpha = 0$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Тангенс равен нулю, если синус равен нулю, а косинус не равен нулю. В указанном интервале $\sin \alpha = 0$ только при $\alpha = 0$.
Ответ: $0$

2) Требуется найти значение $\text{arctg}(-1)$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -1$.
Арктангенс является нечетной функцией, поэтому справедливо равенство $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Применим это свойство: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.
Значение $\text{arctg}(1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

3) Вычислим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Мы ищем угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Теперь найдем $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Нам нужен угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в нужном интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Значит, $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Окончательно получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

4) Необходимо найти $\text{arctg}(\sqrt{3})$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Мы ищем угол $\alpha$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Из стандартных значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, он и является искомым значением.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

1181. 1) $6\mathrm{arctg}\sqrt{3} - 4\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

2) $2\mathrm{arctg}1 + 3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right)$;

3) $5\mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) - 3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) Вычислим значение выражения $6\mathrm{arctg}\sqrt{3}-4\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Для решения задачи необходимо знать значения обратных тригонометрических функций для табличных углов.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.
Значение арксинуса:
Для арксинуса используется свойство нечетности: $\mathrm{arcsin}(-x) = -\mathrm{arcsin}(x)$.
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$6 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\pi - (- \pi) = 2\pi + \pi = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

2) Вычислим значение выражения $2\mathrm{arctg}1+3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
Найдем значения обратных тригонометрических функций.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.
Значение арксинуса (используя свойство нечетности):
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

3) Вычислим значение выражения $5\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})-3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Найдем значения обратных тригонометрических функций, используя их свойство нечетности: $\mathrm{arctg}(-x) = -\mathrm{arctg}(x)$ и $\mathrm{arcsin}(-x) = -\mathrm{arcsin}(x)$.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) = -\mathrm{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Значение арксинуса:
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{5\pi}{3} + \frac{3\pi}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12$:
$-\frac{5\pi \cdot 4}{12} + \frac{3\pi \cdot 3}{12} = \frac{-20\pi + 9\pi}{12} = \frac{-11\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{11\pi}{12}$.

1182. Сравнить числа:

1) $ \text{arctg}(-1) $ и $ \text{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $;

2) $ \text{arctg}\sqrt{3} $ и $ \text{arccos}\frac{1}{2} $;

3) $ \text{arctg}(-3) $ и $ \text{arctg}2 $;

4) $ \text{arctg}(-5) $ и $ \text{arctg}0 $.

1) arctg(-1) и arcsin(-√3/2);

Для сравнения чисел найдем их значения.
По определению арктангенса, $\text{arctg}(-1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арксинуса, $\text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}$ и $-\frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{12}$.
Так как $-3 > -4$, то $-\frac{3\pi}{12} > -\frac{4\pi}{12}$, а значит $-\frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{arctg}(-1) > \text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $\text{arctg}(-1) > \text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) arctg√3 и arccos 1/2;

Найдем значение каждого выражения.
По определению арктангенса, $\text{arctg}(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, $\text{arccos}(\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arccos}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Сравнивая значения $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$, получаем, что они равны.
Ответ: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \text{arccos}(\frac{1}{2})$.

3) arctg(-3) и arctg 2;

Для сравнения этих чисел воспользуемся свойством функции $y=\text{arctg}(x)$.
Функция арктангенс является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\text{arctg}(x_1) < \text{arctg}(x_2)$.
Сравним аргументы данных функций: $-3$ и $2$. Очевидно, что $-3 < 2$.
Поскольку функция арктангенс возрастающая, то из $-3 < 2$ следует, что $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.
Ответ: $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.

4) arctg(-5) и arctg 0.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся свойством функции $y=\text{arctg}(x)$, которая является строго возрастающей.
Сравним аргументы данных функций: $-5$ и $0$. Очевидно, что $-5 < 0$.
Так как функция арктангенс возрастающая, то из $-5 < 0$ следует, что $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.
Альтернативное рассуждение: $\text{arctg}(0) = 0$. Значение $\text{arctg}(-5)$ является отрицательным, так как для $x < 0$ значения $\text{arctg}(x)$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$. Любое отрицательное число меньше нуля, поэтому $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.
Ответ: $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.