Номер 1181, страница 335 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1181. 1) $6\mathrm{arctg}\sqrt{3} - 4\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

2) $2\mathrm{arctg}1 + 3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right)$;

3) $5\mathrm{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) - 3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) Вычислим значение выражения $6\mathrm{arctg}\sqrt{3}-4\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
Для решения задачи необходимо знать значения обратных тригонометрических функций для табличных углов.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, так как $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.
Значение арксинуса:
Для арксинуса используется свойство нечетности: $\mathrm{arcsin}(-x) = -\mathrm{arcsin}(x)$.
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:
$6 \cdot \frac{\pi}{3} - 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\pi - (- \pi) = 2\pi + \pi = 3\pi$.
Ответ: $3\pi$.

2) Вычислим значение выражения $2\mathrm{arctg}1+3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right)$.
Найдем значения обратных тригонометрических функций.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$, так как $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.
Значение арксинуса (используя свойство нечетности):
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
Ответ: $0$.

3) Вычислим значение выражения $5\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})-3\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Найдем значения обратных тригонометрических функций, используя их свойство нечетности: $\mathrm{arctg}(-x) = -\mathrm{arctg}(x)$ и $\mathrm{arcsin}(-x) = -\mathrm{arcsin}(x)$.
Значение арктангенса:
$\mathrm{arctg}(-\sqrt{3}) = -\mathrm{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Значение арксинуса:
$\mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставим найденные значения в исходное выражение:
$5 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{5\pi}{3} + \frac{3\pi}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $12$:
$-\frac{5\pi \cdot 4}{12} + \frac{3\pi \cdot 3}{12} = \frac{-20\pi + 9\pi}{12} = \frac{-11\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}$.
Ответ: $-\frac{11\pi}{12}$.