Номер 1182, страница 335 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1182. Сравнить числа:

1) $ \text{arctg}(-1) $ и $ \text{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $;

2) $ \text{arctg}\sqrt{3} $ и $ \text{arccos}\frac{1}{2} $;

3) $ \text{arctg}(-3) $ и $ \text{arctg}2 $;

4) $ \text{arctg}(-5) $ и $ \text{arctg}0 $.

1) arctg(-1) и arcsin(-√3/2);

Для сравнения чисел найдем их значения.
По определению арктангенса, $\text{arctg}(-1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
По определению арксинуса, $\text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь сравним полученные значения: $-\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}$ и $-\frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{12}$.
Так как $-3 > -4$, то $-\frac{3\pi}{12} > -\frac{4\pi}{12}$, а значит $-\frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\text{arctg}(-1) > \text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $\text{arctg}(-1) > \text{arcsin}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) arctg√3 и arccos 1/2;

Найдем значение каждого выражения.
По определению арктангенса, $\text{arctg}(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
По определению арккосинуса, $\text{arccos}(\frac{1}{2})$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\text{arccos}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Сравнивая значения $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{3}$, получаем, что они равны.
Ответ: $\text{arctg}(\sqrt{3}) = \text{arccos}(\frac{1}{2})$.

3) arctg(-3) и arctg 2;

Для сравнения этих чисел воспользуемся свойством функции $y=\text{arctg}(x)$.
Функция арктангенс является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $\text{arctg}(x_1) < \text{arctg}(x_2)$.
Сравним аргументы данных функций: $-3$ и $2$. Очевидно, что $-3 < 2$.
Поскольку функция арктангенс возрастающая, то из $-3 < 2$ следует, что $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.
Ответ: $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.

4) arctg(-5) и arctg 0.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся свойством функции $y=\text{arctg}(x)$, которая является строго возрастающей.
Сравним аргументы данных функций: $-5$ и $0$. Очевидно, что $-5 < 0$.
Так как функция арктангенс возрастающая, то из $-5 < 0$ следует, что $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.
Альтернативное рассуждение: $\text{arctg}(0) = 0$. Значение $\text{arctg}(-5)$ является отрицательным, так как для $x < 0$ значения $\text{arctg}(x)$ лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$. Любое отрицательное число меньше нуля, поэтому $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.
Ответ: $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.