Номер 1178, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1178. Решить уравнение:

1) $ \arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right) = \frac{\pi}{6} $;

2) $ \arcsin(3-2x) = -\frac{\pi}{4} $.

1) $\arcsin(\frac{x}{2} - 3) = \frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.
В данном уравнении $b = \frac{\pi}{6}$, что входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Применим определение арксинуса к нашему уравнению:

$\frac{x}{2} - 3 = \sin(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение и решим его относительно $x$:

$\frac{x}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{2} + 3$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{6}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{7}{2}$
$x = 7$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса $-1 \le \frac{x}{2} - 3 \le 1$ при $x=7$:
$\frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5$
Так как $-1 \le 0.5 \le 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = 7$.

2) $\arcsin(3 - 2x) = -\frac{\pi}{4}$

Аналогично первому пункту, используем определение арксинуса. Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому уравнение имеет решение.
$3 - 2x = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Значение синуса для угла $-\frac{\pi}{4}$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как синус — нечетная функция ($\sin(-y) = -\sin(y)$).
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$3 - 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$-2x = -3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \frac{3 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса $-1 \le 3 - 2x \le 1$.
Подставим $x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$:
$3 - 2(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = 3 - (3 + \frac{2\sqrt{2}}{4}) = 3 - 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$, что находится в интервале $[-1; 1]$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$.