Номер 1180, страница 335 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1180–1181).

1180. 1) $ \operatorname{arctg} 0 $; 2) $ \operatorname{arctg}(-1) $; 3) $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $; 4) $ \operatorname{arctg}\sqrt{3} $.

1) Арктангенс числа $a$ (обозначается $\text{arctg } a$) — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = a$. Нам нужно найти $\text{arctg } 0$. Это значит, что мы ищем угол $\alpha$, такой что $\text{tg } \alpha = 0$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Тангенс равен нулю, если синус равен нулю, а косинус не равен нулю. В указанном интервале $\sin \alpha = 0$ только при $\alpha = 0$.
Ответ: $0$

2) Требуется найти значение $\text{arctg}(-1)$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg } \alpha = -1$.
Арктангенс является нечетной функцией, поэтому справедливо равенство $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Применим это свойство: $\text{arctg}(-1) = -\text{arctg}(1)$.
Значение $\text{arctg}(1)$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

3) Вычислим $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. Мы ищем угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такой, что $\text{tg } \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Теперь найдем $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Нам нужен угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в нужном интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Значит, $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Окончательно получаем: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

4) Необходимо найти $\text{arctg}(\sqrt{3})$. По определению, это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Мы ищем угол $\alpha$, для которого $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Из стандартных значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, следовательно, он и является искомым значением.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$