Номер 1173, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1173. Доказать, что $\sin(\arcsin a) = a$ при $-1 \leq a \leq 1$. Вычислить:

1) $\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)$;

2) $\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$;

3) $\sin\left(\pi+\arcsin\frac{3}{4}\right)$;

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}\right)$;

5) $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$;

6) $\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, если $\alpha = \arcsin a$, то одновременно выполняются два условия:

1. $\sin \alpha = a$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы доказать, что $\sin(\arcsin a) = a$, мы можем просто подставить $\alpha = \arcsin a$ в выражение $\sin \alpha$. Согласно первому пункту определения, $\sin \alpha$ как раз и равен $a$. Таким образом, равенство $\sin(\arcsin a) = a$ является тождеством по определению арксинуса. Оно справедливо для всех $a$ из области определения функции арксинус, то есть при $-1 \le a \le 1$.

1) Выражение $\sin(\arcsin\frac{1}{7})$ является частным случаем доказанного тождества $\sin(\arcsin a) = a$ при $a = \frac{1}{7}$. Так как $-1 \le \frac{1}{7} \le 1$, тождество применимо. $\sin(\arcsin\frac{1}{7}) = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

2) Выражение $\sin(\arcsin(-\frac{1}{5}))$ также является частным случаем тождества $\sin(\arcsin a) = a$ при $a = -\frac{1}{5}$. Так как $-1 \le -\frac{1}{5} \le 1$, тождество применимо. $\sin(\arcsin(-\frac{1}{5})) = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

3) Для вычисления $\sin(\pi + \arcsin\frac{3}{4})$ воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = \arcsin\frac{3}{4}$. Получаем: $\sin(\pi + \arcsin\frac{3}{4}) = -\sin(\arcsin\frac{3}{4})$. Используя основное тождество $\sin(\arcsin a) = a$, имеем: $-\sin(\arcsin\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $\cos(\frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3})$ воспользуемся формулой приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$. Получаем: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3}) = -\sin(\arcsin\frac{1}{3})$. Используя основное тождество $\sin(\arcsin a) = a$, имеем: $-\sin(\arcsin\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

5) Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. Тогда по определению $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти $\cos(\arcsin\frac{4}{5}) = \cos \alpha$. Так как $\sin \alpha = \frac{4}{5} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус неотрицателен ($\cos \alpha \ge 0$). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Так как $\cos \alpha \ge 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

6) Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$. Тогда по определению $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти $\text{tg}(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}) = \text{tg} \, \alpha$. Так как $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где косинус и тангенс неотрицательны. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$. Так как $\cos \alpha \ge 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Теперь найдем тангенс: $\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.