Номер 1168, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1168–1170).

1168.

1) $1 - 4\sin x \cos x = 0;$

2) $\sqrt{3} + 4\sin x \cos x = 0;$

3) $1 + 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0;$

4) $1 - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0.$

1) Исходное уравнение: $1 - 4\sin x \cos x = 0$.
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Преобразуем выражение $4\sin x \cos x$:
$4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$1 - 2\sin(2x) = 0$.
Теперь решим это уравнение относительно $\sin(2x)$:
$2\sin(2x) = 1$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\sin y = a$ записывается как $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3} + 4\sin x \cos x = 0$.
Как и в предыдущем задании, применим формулу синуса двойного угла: $4\sin x \cos x = 2\sin(2x)$.
Подставим это в уравнение:
$\sqrt{3} + 2\sin(2x) = 0$.
Выразим $\sin(2x)$:
$2\sin(2x) = -\sqrt{3}$
$\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдём общее решение. Значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.
Используя свойство $(-1)^k(-1) = (-1)^{k+1}$, получаем:
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $1 + 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{4}$.
Преобразуем выражение $6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}$:
$6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 3 \cdot (2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}) = 3\sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 3\sin(\frac{x}{2})$.
Подставим в исходное уравнение:
$1 + 3\sin(\frac{x}{2}) = 0$.
Выразим $\sin(\frac{x}{2})$:
$3\sin(\frac{x}{2}) = -1$
$\sin(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{3}$.
Найдём общее решение:
$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$\frac{x}{2} = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^{k+1} 2\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} 2\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $1 - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{3}$.
Преобразуем выражение $8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$:
$8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 4 \cdot (2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}) = 4\sin(2 \cdot \frac{x}{3}) = 4\sin(\frac{2x}{3})$.
Подставим в исходное уравнение:
$1 - 4\sin(\frac{2x}{3}) = 0$.
Выразим $\sin(\frac{2x}{3})$:
$4\sin(\frac{2x}{3}) = 1$
$\sin(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{4}$.
Найдём общее решение:
$\frac{2x}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:
$x = \frac{3}{2} \left( (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k \right)$
$x = (-1)^k \frac{3}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{3}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.