Номер 1172, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1172. Найти все корни уравнения $ \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 $.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти все корни тригонометрического уравнения, а затем отобрать из них те, которые удовлетворяют логарифмическому неравенству.

1. Решение уравнения $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ дается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Умножая обе части на 2, получаем общее решение для $x$:

$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства отбора корней разделим это решение на две серии, рассмотрев случаи для четных и нечетных значений $k$:

• Если $k$ — четное число, т.е. $k=2n$ для $n \in \mathbb{Z}$, то: $x = (-1)^{2n} \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2n) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.
• Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$, то: $x = (-1)^{2n+1} \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2n+1) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$.

Итак, все корни уравнения задаются двумя сериями:$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
$x_2 = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2. Решение неравенства $\log_{\pi}(x - 4\pi) < 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi$.

Теперь решим само неравенство. Представим 1 в виде логарифма по основанию $\pi$:

$1 = \log_{\pi}(\pi)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\pi}(x - 4\pi) < \log_{\pi}(\pi)$.

Поскольку основание логарифма $\pi > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x - 4\pi < \pi$

$x < 5\pi$.

Объединяя это решение с ОДЗ ($x > 4\pi$), получаем итоговый интервал для $x$:

$4\pi < x < 5\pi$.

3. Отбор корней

Теперь нам нужно найти, какие из корней, найденных в п.1, попадают в интервал $(4\pi, 5\pi)$.

Проверим первую серию корней: $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Подставим в двойное неравенство $4\pi < x < 5\pi$:

$4\pi < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$

Разделим все части на $\pi$:

$4 < \frac{2}{3} + 4n < 5$

Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей:

$4 - \frac{2}{3} < 4n < 5 - \frac{2}{3}$

$\frac{10}{3} < 4n < \frac{13}{3}$

Разделим все части на 4:

$\frac{10}{12} < n < \frac{13}{12}$

$\frac{5}{6} < n < 1\frac{1}{12}$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=1$. Найдем соответствующий корень:

$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi(1) = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}$.

Проверим, что $4\pi < \frac{14\pi}{3} < 5\pi$. Переписав границы с общим знаменателем 3, получаем $\frac{12\pi}{3} < \frac{14\pi}{3} < \frac{15\pi}{3}$, что является верным.

Проверим вторую серию корней: $x_2 = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

Подставим в двойное неравенство $4\pi < x < 5\pi$:

$4\pi < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$

$4 < \frac{4}{3} + 4n < 5$

$4 - \frac{4}{3} < 4n < 5 - \frac{4}{3}$

$\frac{8}{3} < 4n < \frac{11}{3}$

$\frac{8}{12} < n < \frac{11}{12}$

$\frac{2}{3} < n < \frac{11}{12}$

В этом интервале нет целых значений $n$.

Таким образом, единственным корнем уравнения, удовлетворяющим заданному неравенству, является $x = \frac{14\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{14\pi}{3}$.