Номер 1170, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1170. 1) $(4\sin x - 3)(2\sin x + 1) = 0;$

2) $(4\sin 3x - 1)(2\sin x + 3) = 0.$

1) $(4\sin x - 3)(2\sin x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$4\sin x - 3 = 0$ или $2\sin x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$4\sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$

Так как $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$2\sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Используя ту же общую формулу, получаем:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $(4\sin 3x - 1)(2\sin x + 3) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$4\sin 3x - 1 = 0$ или $2\sin x + 3 = 0$

Решим первое уравнение:

$4\sin 3x = 1$
$\sin 3x = \frac{1}{4}$

$3x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$2\sin x = -3$
$\sin x = -\frac{3}{2}$

Так как значение функции синуса лежит в диапазоне $[-1; 1]$, а $-\frac{3}{2} = -1.5$, что меньше -1, данное уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, решением исходного уравнения является только серия корней, полученная из первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.