Номер 1177, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1177. 1) $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{2})$;

2) $\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5})$.

1) $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{2})$

Исходное выражение содержит $\arccos\frac{2\sqrt{2}}{2}$, что равносильно $\arccos\sqrt{2}$. Это выражение не определено, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1, а область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятным является предположение, что имелось в виду $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$, значение которого равно $\frac{\pi}{4}$. Решим задачу с этим исправлением.

Требуется вычислить $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{1}{3}$. Так как область значений арксинуса для положительного аргумента — это $(0, \frac{\pi}{2})$, то $\cos\alpha$ будет положительным. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Для угла $\beta = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$, мы знаем, что это табличное значение, и $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\cos\beta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\beta = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу синуса суммы:

$\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{6} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 + \sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $\frac{4 + \sqrt{2}}{6}$.

2) $\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5})$

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{4}{5}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Так как $0 < \frac{3}{5} < 1$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, значит $\cos\alpha > 0$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

По определению арккосинуса, $\cos\beta = \frac{4}{5}$. Так как $0 < \frac{4}{5} < 1$, угол $\beta$ находится в первой четверти, значит $\sin\beta > 0$. Найдем $\sin\beta$:

$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Подставим найденные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5}) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$

$= \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Замечание: можно заметить, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{4}{5}$. Также $\cos\beta = \frac{4}{5}$ и $\sin\beta = \frac{3}{5}$. Отсюда следует, что $\alpha = \beta$. Таким образом, выражение можно переписать как $\cos(2\alpha)$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем тот же результат: $(\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.