Номер 1184, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1184. 1) $tg3x = 0$;

2) $1 + tg\frac{x}{3} = 0$;

3) $\sqrt{3} + tg\frac{x}{6} = 0$.

1) Решим уравнение $tg(3x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $tg(t) = 0$ записывается как $t = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент тангенса $t = 3x$. Следовательно, мы можем записать:

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $1 + tg\frac{x}{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить функцию тангенса. Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$tg\frac{x}{3} = -1$.

Общее решение уравнения вида $tg(t) = a$ находится по формуле $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -1$. Значение арктангенса для -1 равно $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3} + tg\frac{x}{6} = 0$.

Выразим функцию тангенса, перенеся $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:

$tg\frac{x}{6} = -\sqrt{3}$.

Воспользуемся общей формулой для решения уравнений с тангенсом: $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = \frac{x}{6}$ и $a = -\sqrt{3}$. Значение арктангенса для $-\sqrt{3}$ равно $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Запишем решение для аргумента $\frac{x}{6}$:

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части равенства на 6:

$x = 6 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{6\pi}{3} + 6\pi n = -2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.