gdz.top
Номер 1191, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева
Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, синий
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава IX. Тригонометрические уравнения. §3. Уравнение tg x = a - номер 1191, страница 336.
№1190
№1191 (с. 336)
Условие. №1191 (с. 336)
1191. Доказать, что при любом действительном значении $a$ справедливо равенство $\cos(\operatorname{arcctg} a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$.
Решение 1. №1191 (с. 336)
Решение 2. №1191 (с. 336)
Решение 3. №1191 (с. 336)
Решение 4. №1191 (с. 336)
Для доказательства данного равенства введем замену и воспользуемся тригонометрическими тождествами.
Пусть $ y = \arctan a $.
По определению арктангенса, это означает, что $ \tan y = a $ и угол $ y $ находится в интервале $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $.
Нам нужно доказать, что $ \cos y = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус:
$ 1 + \tan^2 y = \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y} $
Из этого тождества выразим $ \cos^2 y $:
$ \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} $
Теперь подставим в это выражение значение $ \tan y = a $:
$ \cos^2 y = \frac{1}{1 + a^2} $
Отсюда следует, что $ \cos y $ может быть равен $ \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $ или $ -\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $.
$ \cos y = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $
Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арктангенса. Как было указано, $ y $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. В этом интервале, который соответствует I и IV координатным четвертям, значение косинуса всегда положительно. То есть, $ \cos y > 0 $.
Следовательно, мы должны выбрать знак «плюс».
$ \cos y = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $
Произведя обратную замену $ y = \arctan a $, мы получаем исходное равенство:
$ \cos(\arctan a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $
Данное равенство справедливо для любого действительного значения $ a $, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ \cos(\arctan a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $ доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1191 расположенного на странице 336 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1191 (с. 336), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.