Страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1183–1185).

1183.

1) $tg x = \frac{1}{\sqrt{3}};

2) $tg x = \sqrt{3};

3) $tg x = -\sqrt{3};

4) $tg x = -1;

5) $tg x = 4;

6) $tg x = -5.

1)

Дано уравнение $\tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общая формула для решения уравнения вида $\tg x = a$ имеет вид $x = \arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это является табличным значением для тангенса.

Главное значение арктангенса $\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\tg x = \sqrt{3}$.

Используем общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \sqrt{3}$, что является табличным значением. Главное значение арктангенса $\arctg(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$.

Используем ту же общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = -\sqrt{3}$.

Функция арктангенс является нечетной, то есть $\arctg(-y) = -\arctg(y)$.

Поэтому $\arctg(-\sqrt{3}) = -\arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $\tg x = -1$.

Применяем общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ при $a = -1$.

Используя свойство нечетности арктангенса, находим главное значение:

$\arctg(-1) = -\arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано уравнение $\tg x = 4$.

Число $4$ не является стандартным табличным значением для тангенса. Поэтому решение записывается через функцию арктангенс.

Применяя общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ с $a=4$, получаем:

$x = \arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6)

Дано уравнение $\tg x = -5$.

Число $-5$ также не является стандартным табличным значением. Решение записывается через арктангенс.

По общей формуле $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ при $a=-5$ имеем:

$x = \arctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс - нечетная функция, это решение также можно записать в виде $x = -\arctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1184. 1) $tg3x = 0$;

2) $1 + tg\frac{x}{3} = 0$;

3) $\sqrt{3} + tg\frac{x}{6} = 0$.

1) Решим уравнение $tg(3x) = 0$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения вида $tg(t) = 0$ записывается как $t = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае аргумент тангенса $t = 3x$. Следовательно, мы можем записать:

$3x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы выразить $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $1 + tg\frac{x}{3} = 0$.

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить функцию тангенса. Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$tg\frac{x}{3} = -1$.

Общее решение уравнения вида $tg(t) = a$ находится по формуле $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -1$. Значение арктангенса для -1 равно $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right) = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3} + tg\frac{x}{6} = 0$.

Выразим функцию тангенса, перенеся $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения:

$tg\frac{x}{6} = -\sqrt{3}$.

Воспользуемся общей формулой для решения уравнений с тангенсом: $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $t = \frac{x}{6}$ и $a = -\sqrt{3}$. Значение арктангенса для $-\sqrt{3}$ равно $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Запишем решение для аргумента $\frac{x}{6}$:

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части равенства на 6:

$x = 6 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{6\pi}{3} + 6\pi n = -2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -2\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1185. 1) $(\operatorname{tg} x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3}) = 0;$

2) $(\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 1)(\operatorname{tg} x - \sqrt{3}) = 0;$

3) $(\operatorname{tg} x - 2)(2\cos x - 1) = 0;$

4) $(\operatorname{tg} x - 4.5)(1 + 2\sin x) = 0;$

5) $(\operatorname{tg} x + 4)(\operatorname{tg} \frac{x}{2} - 1) = 0;$

6) $(\operatorname{tg} \frac{x}{6} + 1)(\operatorname{tg} x - 1) = 0.$

1) $(\text{tg} \, x - 1)(\text{tg} \, x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Область допустимых значений (ОДЗ) для $\text{tg} \, x$ определяется условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

1) $\text{tg} \, x - 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = 1$

$x = \text{arctg}(1) + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} \, x + \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg} \, x = -\sqrt{3}$

$x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi m \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Оба множества решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $(\sqrt{3}\text{tg} \, x + 1)(\text{tg} \, x - \sqrt{3}) = 0$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\sqrt{3}\text{tg} \, x + 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \text{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} \, x - \sqrt{3} = 0 \implies \text{tg} \, x = \sqrt{3}$

$x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi m \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Оба множества решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

3) $(\text{tg} \, x - 2)(2\cos x - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\text{tg} \, x - 2 = 0 \implies \text{tg} \, x = 2$

$x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

$x = \pm\text{arccos}(\frac{1}{2}) + 2\pi m \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Для этих значений $x$, $\cos x = \frac{1}{2} \neq 0$, поэтому $\text{tg} \, x$ определен. Следовательно, эти решения также подходят.

Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

4) $(\text{tg} \, x - 4,5)(1 + 2\sin x) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Уравнение равносильно совокупности:

1) $\text{tg} \, x - 4,5 = 0 \implies \text{tg} \, x = 4,5$

$x = \text{arctg}(4,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

2) $1 + 2\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$

$x = (-1)^{m}\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) + \pi m \implies x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Проверим ОДЗ для второго случая. Если $\sin x = -1/2$, то $\cos^2 x = 1 - (-1/2)^2 = 3/4$, значит $\cos x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$. Следовательно, $\text{tg} \, x$ определен, и эти решения подходят.

Ответ: $x = \text{arctg}(4,5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{m+1}\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

5) $(\text{tg} \, x + 4)(\text{tg}\frac{x}{2} - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0$ и $\cos\frac{x}{2} \neq 0$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos\frac{x}{2} \neq 0 \implies \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{tg} \, x + 4 = 0 \implies \text{tg} \, x = -4$

$x = \text{arctg}(-4) + \pi n = -\text{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют обоим условиям ОДЗ.

2) $\text{tg}\frac{x}{2} - 1 = 0 \implies \text{tg}\frac{x}{2} = 1$

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$ значение $\cos x = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0$, и, следовательно, $\text{tg} \, x$ не определен. Таким образом, это посторонние корни.

Ответ: $x = -\text{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6) $(\text{tg}\frac{x}{6} + 1)(\text{tg} \, x - 1) = 0$

ОДЗ: $\cos\frac{x}{6} \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

$\cos\frac{x}{6} \neq 0 \implies \frac{x}{6} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq 3\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1) $\text{tg}\frac{x}{6} + 1 = 0 \implies \text{tg}\frac{x}{6} = -1$

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти значения не входят в ОДЗ, так как при $x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n$ значение $\cos x = \cos(-\frac{3\pi}{2} + 6\pi n) = 0$, и, следовательно, $\text{tg} \, x$ не определен. Это посторонние корни.

2) $\text{tg} \, x - 1 = 0 \implies \text{tg} \, x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$. Проверим второе условие ОДЗ: $x \neq 3\pi + 6\pi k$. Равенство $\frac{\pi}{4} + \pi m = 3\pi + 6\pi k$ не имеет решений в целых числах $m, k$. Значит, эти решения подходят.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

1186. Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения $3\tan x - \sqrt{3} = 0$.

Для решения задачи сначала найдём общее решение уравнения $3\tg x - \sqrt{3} = 0$.

1. Выразим $\tg x$ из уравнения:

$3\tg x = \sqrt{3}$

$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдём общее решение для $x$. Общая формула для уравнений вида $\tg x = a$ выглядит как $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, а $\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь, используя эту формулу, найдём требуемые корни.

Наименьший положительный корень

Чтобы найти наименьший положительный корень, будем перебирать целые значения $n$, начиная с $n=0$, и искать наименьший корень $x > 0$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.

Это значение является положительным. При любом $n > 0$ корни также будут положительными, но большими, чем $\frac{\pi}{6}$ (например, при $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$). При любых $n < 0$ корни будут отрицательными.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения — это $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Наибольший отрицательный корень

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, будем перебирать отрицательные целые значения $n$ и искать наибольший корень $x < 0$. Наибольшим отрицательным числом является то, которое ближе всего к нулю.

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Это отрицательный корень. Проверим следующее целое значение $n$.

При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-2) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.

Сравнивая полученные отрицательные корни, видим, что $-\frac{5\pi}{6} > -\frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$.

1187. Решить уравнение:

1) $\text{arctg}(5x - 1) = \frac{\pi}{4}$;

2) $\text{arctg}(3 - 5x) = -\frac{\pi}{3}$.

1) Дано уравнение: $arctg(5x - 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $y = arctg(a)$, то $tg(y) = a$, при условии, что $y$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном уравнении значение угла равно $\frac{\pi}{4}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем применить функцию тангенса к обеим частям уравнения:

$tg(arctg(5x - 1)) = tg(\frac{\pi}{4})$

Используя основное тригонометрическое тождество $tg(arctg(a)) = a$ и зная, что $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$5x - 1 = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$5x = 1 + 1$

$5x = 2$

$x = \frac{2}{5}$

Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

2) Дано уравнение: $arctg(3 - 5x) = -\frac{\pi}{3}$.

Аналогично первому пункту, используем определение арктангенса. Значение угла равно $-\frac{\pi}{3}$, что находится в области значений арктангенса, так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.

Применим функцию тангенса к обеим частям уравнения:

$tg(arctg(3 - 5x)) = tg(-\frac{\pi}{3})$

Используя тождество $tg(arctg(a)) = a$ и свойство нечетности тангенса $tg(-y) = -tg(y)$, а также зная, что $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем:

$3 - 5x = -tg(\frac{\pi}{3})$

$3 - 5x = -\sqrt{3}$

Теперь решим это линейное уравнение:

$-5x = -3 - \sqrt{3}$

Умножим обе части уравнения на -1:

$5x = 3 + \sqrt{3}$

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5}$

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5}$.

1188. Доказать, что $tg(arctg\ a) = a$ при любом $a$. Вычислить:

1) $tg(arctg\ 2,1)$;

2) $tg(arctg(-0,3))$;

3) $tg(\pi - arctg\ 7)$;

4) $ctg\left(\frac{\pi}{2} + acrtg\ 6\right)$.

Докажем тождество $tg(arctg \ a) = a$ при любом $a$. По определению, арктангенс числа $a$, обозначаемый как $arctg \ a$, — это угол $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, если мы положим $x = arctg \ a$, то по определению будет верно, что $tg \ x = a$. Подставляя $x = arctg \ a$ в левую часть доказываемого тождества, получаем $tg(arctg \ a) = tg(x)$. А так как $tg \ x = a$, то и $tg(arctg \ a) = a$. Тождество доказано для любого действительного числа $a$.

Теперь вычислим значения выражений:

1) Для вычисления $tg(arctg \ 2,1)$ воспользуемся доказанным тождеством $tg(arctg \ a) = a$. При $a = 2,1$ получаем: $tg(arctg \ 2,1) = 2,1$. Ответ: $2,1$.

2) Для вычисления $tg(arctg(-0,3))$ воспользуемся тем же тождеством $tg(arctg \ a) = a$. При $a = -0,3$ получаем: $tg(arctg(-0,3)) = -0,3$. Ответ: $-0,3$.

3) Для вычисления $tg(\pi - arctg \ 7)$ применим формулу приведения для тангенса: $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$. Полагая $\alpha = arctg \ 7$, получаем $tg(\pi - arctg \ 7) = -tg(arctg \ 7)$. Далее, используя тождество $tg(arctg \ a) = a$, находим: $-tg(arctg \ 7) = -7$. Ответ: $-7$.

4) Для вычисления $ctg(\frac{\pi}{2} + arctg \ 6)$ применим формулу приведения для котангенса: $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$. Полагая $\alpha = arctg \ 6$, получаем $ctg(\frac{\pi}{2} + arctg \ 6) = -tg(arctg \ 6)$. Используя тождество $tg(arctg \ a) = a$, находим: $-tg(arctg \ 6) = -6$. Ответ: $-6$.

1189. Доказать, что $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Вычислить:

1) $ 4 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5); $

2) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right); $

3) $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13). $

Доказательство:

По определению арктангенса, если $y = \operatorname{arctg}(x)$, то это означает, что $\operatorname{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. Областью значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Пусть $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha))$.

Из определения арктангенса следует, что:

1. $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$
2. $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

По условию задачи, угол $\alpha$ также находится в интервале $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Функция тангенс на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей и, следовательно, взаимно однозначной. Это значит, что если два угла из этого интервала имеют одинаковые тангенсы, то сами углы равны.

Поскольку оба угла, $\alpha$ и $y$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и их тангенсы равны ($\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$), можно сделать вывод, что $y = \alpha$.

Заменяя $y$ на $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha))$, мы получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha)) = \alpha$, что и требовалось доказать.

Вычисления:

1) $4\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5)$

Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5)$. Здесь $\alpha = 0,5$. Проверим, выполняется ли для этого значения условие $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Приблизительно $\pi \approx 3,14159$, значит $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.

Неравенство $-1,5708 < 0,5 < 1,5708$ является верным.

Следовательно, можно применить доказанное тождество: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5) = 0,5$.

Тогда исходное выражение равно $4 \cdot 0,5 = 2$.

Ответ: 2

2) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right)$

В этом случае $\alpha = \frac{7\pi}{8}$. Проверим, принадлежит ли этот угол интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Представим границы интервала в виде дробей со знаменателем 8: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$.

Поскольку $\frac{7\pi}{8} > \frac{4\pi}{8}$, угол $\alpha = \frac{7\pi}{8}$ не входит в область значений арктангенса.

Воспользуемся свойством периодичности функции тангенса: $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такой угол $\beta = \alpha + k\pi$, который будет лежать в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Выберем $k = -1$. Тогда:

$\beta = \frac{7\pi}{8} - \pi = \frac{7\pi}{8} - \frac{8\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

Угол $-\frac{\pi}{8}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как выполняется неравенство $-\frac{4\pi}{8} < -\frac{\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$.

Таким образом, $\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)$.

Теперь вычислим: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)$.

Так как $-\frac{\pi}{8}$ находится в нужном интервале, то $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$

3) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13)$

Здесь $\alpha = 13$ (радиан). Это значение не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1,5708, 1,5708)$.

Снова используем периодичность тангенса: $\operatorname{tg}(13) = \operatorname{tg}(13 + k\pi)$. Найдем такое целое число $k$, чтобы угол $\beta = 13 + k\pi$ принадлежал интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} < 13 + k\pi < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - 13 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 13$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} - \frac{13}{\pi} < k < \frac{1}{2} - \frac{13}{\pi}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получим $\frac{13}{\pi} \approx 4,14$.

$-0,5 - 4,14 < k < 0,5 - 4,14$

$-4,64 < k < -3,64$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = -4$.

Значит, искомый угол $\beta = 13 - 4\pi$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(13) = \operatorname{tg}(13 - 4\pi)$.

Вычисляем: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(13 - 4\pi))$.

Так как угол $(13 - 4\pi)$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(13 - 4\pi)) = 13 - 4\pi$.

Ответ: $13 - 4\pi$

1190. Вычислить:

1) $\text{arcctg}\left(\text{ctg}\frac{5\pi}{6}\right);$

2) $\text{arcctg}\left(\text{ctg}\frac{3\pi}{4}\right);$

3) $\text{arcctg}\left(2\text{sin}\frac{\pi}{3}\right).$

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством, связывающим арктангенс и котангенс. Общая формула для $arctg(ctg(x))$ имеет вид $arctg(ctg(x)) = \frac{\pi}{2} - x$, если $x$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$. В данном случае $x = \frac{5\pi}{6}$, и это значение входит в указанный интервал.
Однако, более универсальный метод — использование формулы приведения $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$.
Подставим это в исходное выражение:
$arctg(ctg(\frac{5\pi}{6})) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6}))$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$arctg(tg(-\frac{\pi}{3}))$
Поскольку значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арктангенса, которая равна $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то по определению $arctg(tg(y)) = y$ для $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $arctg(tg(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

2) Решим этот пример аналогично первому, используя тождество $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$.
$arctg(ctg(\frac{3\pi}{4})) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}))$
Вычислим аргумент тангенса:
$\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Получаем выражение:
$arctg(tg(-\frac{\pi}{4}))$
Так как угол $-\frac{\pi}{4}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, который является областью значений арктангенса, то $arctg(tg(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

3) Сначала вычислим выражение, стоящее под знаком арктангенса.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $2sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Теперь исходное выражение можно переписать как:
$arctg(\sqrt{3})$
По определению арктангенса, нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

1191. Доказать, что при любом действительном значении $a$ справедливо равенство $\cos(\operatorname{arcctg} a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$.

Для доказательства данного равенства введем замену и воспользуемся тригонометрическими тождествами.
Пусть $ y = \arctan a $.
По определению арктангенса, это означает, что $ \tan y = a $ и угол $ y $ находится в интервале $ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} $.
Нам нужно доказать, что $ \cos y = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус:
$ 1 + \tan^2 y = \sec^2 y = \frac{1}{\cos^2 y} $
Из этого тождества выразим $ \cos^2 y $:
$ \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} $
Теперь подставим в это выражение значение $ \tan y = a $:
$ \cos^2 y = \frac{1}{1 + a^2} $
Отсюда следует, что $ \cos y $ может быть равен $ \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $ или $ -\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $.
$ \cos y = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} $
Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арктангенса. Как было указано, $ y $ принадлежит интервалу $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. В этом интервале, который соответствует I и IV координатным четвертям, значение косинуса всегда положительно. То есть, $ \cos y > 0 $.
Следовательно, мы должны выбрать знак «плюс».
$ \cos y = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $
Произведя обратную замену $ y = \arctan a $, мы получаем исходное равенство:
$ \cos(\arctan a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $
Данное равенство справедливо для любого действительного значения $ a $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \cos(\arctan a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} $ доказано.