Номер 1189, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1189. Доказать, что $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Вычислить:

1) $ 4 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5); $

2) $ \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right); $

3) $ \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13). $

Доказательство:

По определению арктангенса, если $y = \operatorname{arctg}(x)$, то это означает, что $\operatorname{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$. Областью значений функции арктангенс является интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Пусть $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha))$.

Из определения арктангенса следует, что:

1. $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$
2. $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

По условию задачи, угол $\alpha$ также находится в интервале $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Функция тангенс на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей и, следовательно, взаимно однозначной. Это значит, что если два угла из этого интервала имеют одинаковые тангенсы, то сами углы равны.

Поскольку оба угла, $\alpha$ и $y$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и их тангенсы равны ($\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$), можно сделать вывод, что $y = \alpha$.

Заменяя $y$ на $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha))$, мы получаем $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha)) = \alpha$, что и требовалось доказать.

Вычисления:

1) $4\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5)$

Рассмотрим выражение $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5)$. Здесь $\alpha = 0,5$. Проверим, выполняется ли для этого значения условие $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Приблизительно $\pi \approx 3,14159$, значит $\frac{\pi}{2} \approx 1,5708$.

Неравенство $-1,5708 < 0,5 < 1,5708$ является верным.

Следовательно, можно применить доказанное тождество: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5) = 0,5$.

Тогда исходное выражение равно $4 \cdot 0,5 = 2$.

Ответ: 2

2) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right)$

В этом случае $\alpha = \frac{7\pi}{8}$. Проверим, принадлежит ли этот угол интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Представим границы интервала в виде дробей со знаменателем 8: $-\frac{\pi}{2} = -\frac{4\pi}{8}$ и $\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{8}$.

Поскольку $\frac{7\pi}{8} > \frac{4\pi}{8}$, угол $\alpha = \frac{7\pi}{8}$ не входит в область значений арктангенса.

Воспользуемся свойством периодичности функции тангенса: $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + k\pi)$ для любого целого $k$. Нам нужно найти такой угол $\beta = \alpha + k\pi$, который будет лежать в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Выберем $k = -1$. Тогда:

$\beta = \frac{7\pi}{8} - \pi = \frac{7\pi}{8} - \frac{8\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.

Угол $-\frac{\pi}{8}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как выполняется неравенство $-\frac{4\pi}{8} < -\frac{\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$.

Таким образом, $\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)$.

Теперь вычислим: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)$.

Так как $-\frac{\pi}{8}$ находится в нужном интервале, то $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$

3) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13)$

Здесь $\alpha = 13$ (радиан). Это значение не входит в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1,5708, 1,5708)$.

Снова используем периодичность тангенса: $\operatorname{tg}(13) = \operatorname{tg}(13 + k\pi)$. Найдем такое целое число $k$, чтобы угол $\beta = 13 + k\pi$ принадлежал интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Решим двойное неравенство относительно $k$:

$-\frac{\pi}{2} < 13 + k\pi < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - 13 < k\pi < \frac{\pi}{2} - 13$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{2} - \frac{13}{\pi} < k < \frac{1}{2} - \frac{13}{\pi}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получим $\frac{13}{\pi} \approx 4,14$.

$-0,5 - 4,14 < k < 0,5 - 4,14$

$-4,64 < k < -3,64$

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k = -4$.

Значит, искомый угол $\beta = 13 - 4\pi$.

Следовательно, $\operatorname{tg}(13) = \operatorname{tg}(13 - 4\pi)$.

Вычисляем: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(13 - 4\pi))$.

Так как угол $(13 - 4\pi)$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(13 - 4\pi)) = 13 - 4\pi$.

Ответ: $13 - 4\pi$