Номер 1193, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1193. 1) $2\cos^2 x - \sin x + 1 = 0$;

2) $3\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$;

3) $4\sin^2 x - \cos x - 1 = 0$;

4) $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$.

1) $2\cos^2x - \sin x + 1 = 0$

Чтобы решить это уравнение, приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \sin^2x) - \sin x + 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$2 - 2\sin^2x - \sin x + 1 = 0$

$-2\sin^2x - \sin x + 3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$2\sin^2x + \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то и $|t| \le 1$.

$2t^2 + t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$

Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_1 = 1$:

$\sin x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $3\cos^2x - \sin x - 1 = 0$

Используем тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ для приведения уравнения к одной функции.

$3(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0$

$3 - 3\sin^2x - \sin x - 1 = 0$

$-3\sin^2x - \sin x + 2 = 0$

$3\sin^2x + \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$3t^2 + t - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Рассмотрим оба случая.

1. $\sin x = \frac{2}{3}$. Решение: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = -1$. Решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $4\sin^2x - \cos x - 1 = 0$

Используем тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

$4(1 - \cos^2x) - \cos x - 1 = 0$

$4 - 4\cos^2x - \cos x - 1 = 0$

$-4\cos^2x - \cos x + 3 = 0$

$4\cos^2x + \cos x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + t - 3 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$

Оба корня действительны и входят в область значений косинуса. Рассмотрим оба случая.

1. $\cos x = \frac{3}{4}$. Решение: $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -1$. Решение: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

4) $2\sin^2x + 3\cos x = 0$

Используем тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.

$2(1 - \cos^2x) + 3\cos x = 0$

$2 - 2\cos^2x + 3\cos x = 0$

$-2\cos^2x + 3\cos x + 2 = 0$

$2\cos^2x - 3\cos x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_1 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $t_2 = -\frac{1}{2}$:

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$