Номер 1197, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1197. 1) $\sin x + \cos x = 1$;

2) $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$;

3) $10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3$;

4) $6\sin^2 2x + 4\cos^2 2x - 8\sin 2x \cos 2x = 1$.

1) $\sin x + \cos x = 1$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать, используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Решаем полученное простейшее тригонометрическое уравнение:

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$

Рассмотрим два случая для $k$:

1. Если $k$ — четное, то есть $k=2n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$

2. Если $k$ — нечетное, то есть $k=2n+1$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) \implies x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

Данное уравнение решается аналогично предыдущему методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 3x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 3x = 1$

Используя $\cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и формулу синуса суммы, получаем:

$\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3$

Это уравнение можно свести к однородному. Используем основное тригонометрическое тождество, представив правую часть как $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$10\sin^2 x + 5\sin x \cos x + \cos^2 x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(10-3)\sin^2 x + 5\sin x \cos x + (1-3)\cos^2 x = 0$

$7\sin^2 x + 5\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$

Заметим, что $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$, и уравнение принимает вид $7 \cdot 1 + 0 - 0 = 7 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$7\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 5\frac{\sin x}{\cos x} - 2 = 0$

$7\tan^2 x + 5\tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$, получим квадратное уравнение:

$7t^2 + 5t - 2 = 0$

Находим корни по формуле для корней квадратного уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2)}}{2 \cdot 7} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+56}}{14} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{14} = \frac{-5 \pm 9}{14}$

$t_1 = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$, $t_2 = \frac{-14}{14} = -1$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan x = \frac{2}{7} \implies x = \arctan(\frac{2}{7}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{2}{7}) + \pi k, x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $6\sin^2 2x + 4\cos^2 2x - 8\sin 2x \cos 2x = 1$

Приведем уравнение к однородному, используя тождество $1 = \sin^2 2x + \cos^2 2x$.

$6\sin^2 2x + 4\cos^2 2x - 8\sin 2x \cos 2x = \sin^2 2x + \cos^2 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(6-1)\sin^2 2x - 8\sin 2x \cos 2x + (4-1)\cos^2 2x = 0$

$5\sin^2 2x - 8\sin 2x \cos 2x + 3\cos^2 2x = 0$

Проверим, что $\cos 2x \neq 0$. Если $\cos 2x = 0$, то $\sin^2 2x = 1$, и уравнение становится $5 \cdot 1 - 0 + 0 = 5 \neq 0$. Следовательно, можно разделить на $\cos^2 2x$.

$5\tan^2 2x - 8\tan 2x + 3 = 0$

Пусть $t = \tan 2x$. Получаем квадратное уравнение:

$5t^2 - 8t + 3 = 0$

Находим корни:

$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3}}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm \sqrt{64-60}}{10} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10}$

$t_1 = \frac{10}{10} = 1$, $t_2 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Возвращаемся к замене:

1. $\tan 2x = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan 2x = \frac{3}{5} \implies 2x = \arctan(\frac{3}{5}) + \pi k \implies x = \frac{1}{2}\arctan(\frac{3}{5}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan(\frac{3}{5}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.