Номер 1194, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IX. Тригонометрические уравнения. §4. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения - номер 1194, страница 341.

Условие.

1194. 1) $tg^2 x = 2;$

2) $tg x = ctg x;$

3) $tg^2 x - 3tg x - 4 = 0;$

4) $tg^2 x - tg x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим уравнение $tg^2 x = 2$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$tg x = \sqrt{2}$ или $tg x = -\sqrt{2}$.
Общая формула для решения уравнения $tg x = a$ имеет вид $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для первого случая получаем серию решений: $x = arctg(\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Для второго случая получаем серию решений: $x = arctg(-\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $arctg(-a) = -arctg(a)$, вторую серию можно записать как $x = -arctg(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Обе серии решений можно объединить в одну формулу.
Ответ: $x = \pm arctg(\sqrt{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $tg x = ctg x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых существуют тангенс и котангенс: $cos x \neq 0$ и $sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
Используя тождество $ctg x = \frac{1}{tg x}$, перепишем уравнение (при условии $tg x \neq 0$, что следует из ОДЗ):
$tg x = \frac{1}{tg x}$
Умножим обе части на $tg x$:
$tg^2 x = 1$
Отсюда получаем два простейших тригонометрических уравнения:
1) $tg x = 1 \implies x = arctg(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $tg x = -1 \implies x = arctg(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну. Заметим, что решения повторяются с периодом $\frac{\pi}{2}$.
Объединенная формула: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $tg^2 x - 3tg x - 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $tg x$. Введем замену переменной: пусть $y = tg x$. Уравнение примет вид:
$y^2 - 3y - 4 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1$
Теперь выполним обратную замену.
1) $tg x = 4$. Решение этого уравнения: $x = arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $tg x = -1$. Решение этого уравнения: $x = arctg(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение имеет две серии корней.
Ответ: $x = arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $tg^2 x - tg x + 1 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $tg x$. Введем замену переменной: пусть $y = tg x$.
$y^2 - y + 1 = 0$.
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - y + 1 = 0$ не имеет действительных корней.
Так как функция $tg x$ может принимать только действительные значения, то исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.