Номер 1195, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1195. 1) $1 + 7\cos^2x = 3\sin2x;$

2) $3 + \sin2x = 4\sin^2x;$

3) $\cos2x + \cos^2x + \sin x \cos x = 0;$

4) $3\cos2x + \sin^2x + 5\sin x \cos x = 0.$

1) Исходное уравнение: $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x$.
Для решения этого уравнения приведем его к однородному виду. Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Подставим эти выражения в уравнение: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x)$
$\sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное тригонометрическое уравнение второй степени: $\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$
Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.
$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{8\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$
$\tan^2 x - 6\tan x + 8 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Сделаем замену $t = \tan x$: $t^2 - 6t + 8 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Возвращаемся к исходной переменной:
1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan 2 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = 4 \implies x = \arctan 4 + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan 4 + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $3 + \sin 2x = 4\sin^2 x$.
Приведем уравнение к однородному виду. Используем $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$3(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 4\sin^2 x$
$3\sin^2 x + 3\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 4\sin^2 x = 0$
$-\sin^2 x + 2\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$
Умножим уравнение на -1: $\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение принимает вид $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Значит, $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^2 x$:
$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$
Пусть $t = \tan x$. Квадратное уравнение $t^2 - 2t - 3 = 0$ имеет корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos 2x + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к однородному виду:
$(\cos^2 x - \sin^2 x) + \cos^2 x + \sin x \cos x = 0$
$2\cos^2 x + \sin x \cos x - \sin^2 x = 0$
Умножим на -1 и упорядочим члены: $\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$
Проверим случай $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Уравнение становится $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$. Делим на $\cos^2 x$:
$\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$
Пусть $t = \tan x$. Уравнение $t^2 - t - 2 = 0$ имеет корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Находим $x$:
1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan 2 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $3\cos 2x + \sin^2 x + 5\sin x \cos x = 0$.
Используем формулу $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ для приведения к однородному уравнению:
$3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x + 5\sin x \cos x = 0$
$3\cos^2 x - 3\sin^2 x + \sin^2 x + 5\sin x \cos x = 0$
$3\cos^2 x + 5\sin x \cos x - 2\sin^2 x = 0$
Умножим на -1 и переставим члены: $2\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$
Случай $\cos x = 0$ (и $\sin^2 x = 1$) приводит к неверному равенству $2 - 0 - 0 = 0$. Значит, $\cos x \neq 0$. Делим уравнение на $\cos^2 x$:
$2\tan^2 x - 5\tan x - 3 = 0$
Пусть $t = \tan x$. Решаем квадратное уравнение $2t^2 - 5t - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-5)^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
Корни: $t = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{5+7}{4} = 3$, $t_2 = \frac{5-7}{4} = -\frac{1}{2}$.
Находим решения для $x$:
1) $\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \arctan 3 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan\frac{1}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.