Номер 1183, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1183–1185).

1183.

1) $tg x = \frac{1}{\sqrt{3}};

2) $tg x = \sqrt{3};

3) $tg x = -\sqrt{3};

4) $tg x = -1;

5) $tg x = 4;

6) $tg x = -5.

1)

Дано уравнение $\tg x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Общая формула для решения уравнения вида $\tg x = a$ имеет вид $x = \arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это является табличным значением для тангенса.

Главное значение арктангенса $\arctg\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем решение:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\tg x = \sqrt{3}$.

Используем общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \sqrt{3}$, что является табличным значением. Главное значение арктангенса $\arctg(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$.

Используем ту же общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, где $a = -\sqrt{3}$.

Функция арктангенс является нечетной, то есть $\arctg(-y) = -\arctg(y)$.

Поэтому $\arctg(-\sqrt{3}) = -\arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Решение уравнения:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение $\tg x = -1$.

Применяем общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ при $a = -1$.

Используя свойство нечетности арктангенса, находим главное значение:

$\arctg(-1) = -\arctg(1) = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, решение:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Дано уравнение $\tg x = 4$.

Число $4$ не является стандартным табличным значением для тангенса. Поэтому решение записывается через функцию арктангенс.

Применяя общую формулу $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ с $a=4$, получаем:

$x = \arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctg(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

6)

Дано уравнение $\tg x = -5$.

Число $-5$ также не является стандартным табличным значением. Решение записывается через арктангенс.

По общей формуле $x = \arctg(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ при $a=-5$ имеем:

$x = \arctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Так как арктангенс - нечетная функция, это решение также можно записать в виде $x = -\arctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.