Номер 1176, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1176. 1) $\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right)$

2) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

1) $\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right)$

Для решения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{2}{3}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$, и угол $\alpha$ находится в промежутке $0 \le \alpha \le \pi$.
Поскольку значение косинуса $\frac{2}{3}$ положительно, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус также принимает положительные значения.
Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Выразим из него синус: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$.
Так как синус в первой четверти положителен, получаем: $\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}$.
Подставим известное значение $\cos(\alpha)$:
$\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{9-4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

2) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

В этом случае мы можем сначала вычислить значение внутреннего выражения, так как оно соответствует табличному значению косинуса.
Найдем $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. По определению, это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$.
Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Косинус отрицателен во второй четверти. Угол во второй четверти, связанный с $\frac{\pi}{3}$, равен $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
Это также табличное значение:
$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$