Страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1167. Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $\arcsin(\sqrt{5} - 2);$

2) $\arcsin(\sqrt{5} - 3);$

3) $\arcsin(3 - \sqrt{17});$

4) $\arcsin(2 - \sqrt{10});$

5) $\operatorname{tg}\left(6\arcsin\frac{1}{2}\right);$

6) $\operatorname{tg}\left(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) $\arcsin(\sqrt{5}-2)$

Выражение $\arcsin(x)$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть выполняется неравенство $-1 \le x \le 1$.

В данном случае $x = \sqrt{5}-2$. Проверим, выполняется ли для него это условие.

Оценим значение $\sqrt{5}$. Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что дает $2 < \sqrt{5} < 3$.

Теперь оценим выражение $\sqrt{5}-2$, вычитая 2 из всех частей неравенства: $2 - 2 < \sqrt{5} - 2 < 3 - 2$, что приводит к $0 < \sqrt{5} - 2 < 1$.

Поскольку значение $\sqrt{5} - 2$ находится в интервале $(0; 1)$, оно также принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\arcsin(\sqrt{5}-3)$

Аналогично предыдущему пункту, выражение $\arcsin(x)$ имеет смысл при $-1 \le x \le 1$.

Здесь $x = \sqrt{5}-3$. Снова используем оценку $2 < \sqrt{5} < 3$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $2 - 3 < \sqrt{5} - 3 < 3 - 3$, что дает $-1 < \sqrt{5} - 3 < 0$.

Значение $\sqrt{5} - 3$ находится в интервале $(-1; 0)$, который является частью отрезка $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\arcsin(3-\sqrt{17})$

Проверяем условие $-1 \le 3-\sqrt{17} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{17}$. Известно, что $16 < 17 < 25$, следовательно, $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что дает $4 < \sqrt{17} < 5$.

Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $-5 < -\sqrt{17} < -4$.

Прибавим 3 ко всем частям: $3 - 5 < 3 - \sqrt{17} < 3 - 4$, что дает $-2 < 3 - \sqrt{17} < -1$.

Значение $3 - \sqrt{17}$ находится в интервале $(-2; -1)$, который не пересекается с отрезком $[-1; 1]$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\arcsin(2-\sqrt{10})$

Проверяем условие $-1 \le 2-\sqrt{10} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{10}$. Известно, что $9 < 10 < 16$, следовательно, $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, что дает $3 < \sqrt{10} < 4$.

Умножим на -1: $-4 < -\sqrt{10} < -3$.

Прибавим 2: $2 - 4 < 2 - \sqrt{10} < 2 - 3$, что дает $-2 < 2 - \sqrt{10} < -1$.

Значение $2 - \sqrt{10}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{tg}(6\arcsin\frac{1}{2})$

Выражение $\text{tg}(y)$ имеет смысл, если его аргумент $y$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Сначала найдем значение аргумента тангенса. Известно, что $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Тогда аргумент тангенса равен $y = 6 \cdot \arcsin\frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$.

Теперь проверим, определен ли $\text{tg}(\pi)$. Значение $\pi$ не представимо в виде $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для целого $k$ (если $\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $1 = \frac{1}{2} + k$, откуда $k = \frac{1}{2}$, что не является целым числом). Следовательно, $\text{tg}(\pi)$ определен (и равен 0). Таким образом, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

6) $\text{tg}(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2})$

Выражение $\text{tg}(y)$ имеет смысл, если $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем значение аргумента тангенса. Известно, что $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Тогда аргумент тангенса равен $y = 2 \cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Это значение совпадает с видом $\frac{\pi}{2} + \pi k$ при $k=0$. В этой точке функция тангенса не определена.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

Решить уравнение (1168–1170).

1168.

1) $1 - 4\sin x \cos x = 0;$

2) $\sqrt{3} + 4\sin x \cos x = 0;$

3) $1 + 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0;$

4) $1 - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0.$

1) Исходное уравнение: $1 - 4\sin x \cos x = 0$.
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Преобразуем выражение $4\sin x \cos x$:
$4\sin x \cos x = 2 \cdot (2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.
Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$1 - 2\sin(2x) = 0$.
Теперь решим это уравнение относительно $\sin(2x)$:
$2\sin(2x) = 1$
$\sin(2x) = \frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\sin y = a$ записывается как $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Значение $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{3} + 4\sin x \cos x = 0$.
Как и в предыдущем задании, применим формулу синуса двойного угла: $4\sin x \cos x = 2\sin(2x)$.
Подставим это в уравнение:
$\sqrt{3} + 2\sin(2x) = 0$.
Выразим $\sin(2x)$:
$2\sin(2x) = -\sqrt{3}$
$\sin(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдём общее решение. Значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
$2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$.
Используя свойство $(-1)^k(-1) = (-1)^{k+1}$, получаем:
$2x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $1 + 6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{4}$.
Преобразуем выражение $6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}$:
$6\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4} = 3 \cdot (2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}) = 3\sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 3\sin(\frac{x}{2})$.
Подставим в исходное уравнение:
$1 + 3\sin(\frac{x}{2}) = 0$.
Выразим $\sin(\frac{x}{2})$:
$3\sin(\frac{x}{2}) = -1$
$\sin(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{3}$.
Найдём общее решение:
$\frac{x}{2} = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$\frac{x}{2} = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^{k+1} 2\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} 2\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $1 - 8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{3}$.
Преобразуем выражение $8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$:
$8\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3} = 4 \cdot (2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}) = 4\sin(2 \cdot \frac{x}{3}) = 4\sin(\frac{2x}{3})$.
Подставим в исходное уравнение:
$1 - 4\sin(\frac{2x}{3}) = 0$.
Выразим $\sin(\frac{2x}{3})$:
$4\sin(\frac{2x}{3}) = 1$
$\sin(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{4}$.
Найдём общее решение:
$\frac{2x}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:
$x = \frac{3}{2} \left( (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k \right)$
$x = (-1)^k \frac{3}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{3}{2}\arcsin(\frac{1}{4}) + \frac{3\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

1169. 1) $1 + \cos(5x) \sin(4x) = \cos(4x) \sin(5x);$

2) $1 - \sin(x) \cos(2x) = \cos(x) \sin(2x).$

1)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 + \cos(5x)\sin(4x) = \cos(4x)\sin(5x)$

Перенесем слагаемое $\cos(5x)\sin(4x)$ из левой части в правую, изменив его знак:

$1 = \cos(4x)\sin(5x) - \cos(5x)\sin(4x)$

В правой части уравнения мы видим выражение, которое соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 4x$. Применим эту формулу к правой части уравнения:

$1 = \sin(5x - 4x)$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$1 = \sin(x)$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для уравнения $\sin(x) = 1$ известно. Это происходит, когда угол $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов ($2\pi$).

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 - \sin(x)\cos(2x) = \cos(x)\sin(2x)$

Перенесем слагаемое $\sin(x)\cos(2x)$ из левой части в правую, изменив его знак:

$1 = \cos(x)\sin(2x) + \sin(x)\cos(2x)$

В правой части уравнения мы видим выражение, которое соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае можно положить $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу к правой части уравнения:

$1 = \sin(2x + x)$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$1 = \sin(3x)$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его для аргумента $3x$. Уравнение $\sin(\theta) = 1$ имеет общее решение $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ - любое целое число.

Применим это к нашему случаю:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

1170. 1) $(4\sin x - 3)(2\sin x + 1) = 0;$

2) $(4\sin 3x - 1)(2\sin x + 3) = 0.$

1) $(4\sin x - 3)(2\sin x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$4\sin x - 3 = 0$ или $2\sin x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:

$4\sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$

Так как $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общая формула для решений уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$2\sin x = -1$
$\sin x = -\frac{1}{2}$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Используя ту же общую формулу, получаем:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения обоих уравнений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\frac{3}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $(4\sin 3x - 1)(2\sin x + 3) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$4\sin 3x - 1 = 0$ или $2\sin x + 3 = 0$

Решим первое уравнение:

$4\sin 3x = 1$
$\sin 3x = \frac{1}{4}$

$3x = (-1)^k \arcsin\frac{1}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$2\sin x = -3$
$\sin x = -\frac{3}{2}$

Так как значение функции синуса лежит в диапазоне $[-1; 1]$, а $-\frac{3}{2} = -1.5$, что меньше -1, данное уравнение не имеет действительных решений.

Следовательно, решением исходного уравнения является только серия корней, полученная из первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\frac{1}{4} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

1171. Найти все корни уравнения $\sin 2x = \frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Требуется найти все корни уравнения $\sin(2x) = \frac{1}{2}$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

1. Найдём общее решение уравнения.
Сначала решим уравнение относительно аргумента $2x$. Решение уравнения $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ представляет собой совокупность двух серий корней: $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $\alpha = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставим $\alpha = 2x$:
1) $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
2) $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
Теперь выразим $x$ из каждой серии, разделив обе части на 2:
1) $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$
2) $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

2. Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.
Для этого будем подставлять различные целые значения $n$ в полученные формулы и проверять, попадает ли корень в интервал $0 \le x \le 2\pi$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{12} + \pi n$:
При $n=0$: $x_1 = \frac{\pi}{12}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При $n=1$: $x_2 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При $n=2$: $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi = \frac{25\pi}{12}$. Корень $\frac{25\pi}{12} > 2\pi$, не подходит.

Для второй серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$:
При $n=0$: $x_3 = \frac{5\pi}{12}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При $n=1$: $x_4 = \frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{17\pi}{12}$. Корень принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При $n=2$: $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi = \frac{29\pi}{12}$. Корень $\frac{29\pi}{12} > 2\pi$, не подходит.
При отрицательных значениях $n$ корни также не будут входить в заданный отрезок, так как станут отрицательными.

Объединив все найденные корни, получаем итоговый результат.

Ответ: $\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}.$

1172. Найти все корни уравнения $ \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $, удовлетворяющие неравенству $ \log_{\pi} (x - 4\pi) < 1 $.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти все корни тригонометрического уравнения, а затем отобрать из них те, которые удовлетворяют логарифмическому неравенству.

1. Решение уравнения $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ дается формулой $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{2}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$

Умножая обе части на 2, получаем общее решение для $x$:

$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства отбора корней разделим это решение на две серии, рассмотрев случаи для четных и нечетных значений $k$:

• Если $k$ — четное число, т.е. $k=2n$ для $n \in \mathbb{Z}$, то: $x = (-1)^{2n} \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2n) = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.
• Если $k$ — нечетное число, т.е. $k=2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$, то: $x = (-1)^{2n+1} \frac{2\pi}{3} + 2\pi(2n+1) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$.

Итак, все корни уравнения задаются двумя сериями:$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$
$x_2 = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2. Решение неравенства $\log_{\pi}(x - 4\pi) < 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x - 4\pi > 0 \implies x > 4\pi$.

Теперь решим само неравенство. Представим 1 в виде логарифма по основанию $\pi$:

$1 = \log_{\pi}(\pi)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{\pi}(x - 4\pi) < \log_{\pi}(\pi)$.

Поскольку основание логарифма $\pi > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x - 4\pi < \pi$

$x < 5\pi$.

Объединяя это решение с ОДЗ ($x > 4\pi$), получаем итоговый интервал для $x$:

$4\pi < x < 5\pi$.

3. Отбор корней

Теперь нам нужно найти, какие из корней, найденных в п.1, попадают в интервал $(4\pi, 5\pi)$.

Проверим первую серию корней: $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$

Подставим в двойное неравенство $4\pi < x < 5\pi$:

$4\pi < \frac{2\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$

Разделим все части на $\pi$:

$4 < \frac{2}{3} + 4n < 5$

Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей:

$4 - \frac{2}{3} < 4n < 5 - \frac{2}{3}$

$\frac{10}{3} < 4n < \frac{13}{3}$

Разделим все части на 4:

$\frac{10}{12} < n < \frac{13}{12}$

$\frac{5}{6} < n < 1\frac{1}{12}$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=1$. Найдем соответствующий корень:

$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi(1) = \frac{2\pi + 12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}$.

Проверим, что $4\pi < \frac{14\pi}{3} < 5\pi$. Переписав границы с общим знаменателем 3, получаем $\frac{12\pi}{3} < \frac{14\pi}{3} < \frac{15\pi}{3}$, что является верным.

Проверим вторую серию корней: $x_2 = \frac{4\pi}{3} + 4\pi n$

Подставим в двойное неравенство $4\pi < x < 5\pi$:

$4\pi < \frac{4\pi}{3} + 4\pi n < 5\pi$

$4 < \frac{4}{3} + 4n < 5$

$4 - \frac{4}{3} < 4n < 5 - \frac{4}{3}$

$\frac{8}{3} < 4n < \frac{11}{3}$

$\frac{8}{12} < n < \frac{11}{12}$

$\frac{2}{3} < n < \frac{11}{12}$

В этом интервале нет целых значений $n$.

Таким образом, единственным корнем уравнения, удовлетворяющим заданному неравенству, является $x = \frac{14\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{14\pi}{3}$.

1173. Доказать, что $\sin(\arcsin a) = a$ при $-1 \leq a \leq 1$. Вычислить:

1) $\sin\left(\arcsin\frac{1}{7}\right)$;

2) $\sin\left(\arcsin\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$;

3) $\sin\left(\pi+\arcsin\frac{3}{4}\right)$;

4) $\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\arcsin\frac{1}{3}\right)$;

5) $\cos\left(\arcsin\frac{4}{5}\right)$;

6) $\operatorname{tg}\left(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такое число $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. То есть, если $\alpha = \arcsin a$, то одновременно выполняются два условия:

1. $\sin \alpha = a$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Чтобы доказать, что $\sin(\arcsin a) = a$, мы можем просто подставить $\alpha = \arcsin a$ в выражение $\sin \alpha$. Согласно первому пункту определения, $\sin \alpha$ как раз и равен $a$. Таким образом, равенство $\sin(\arcsin a) = a$ является тождеством по определению арксинуса. Оно справедливо для всех $a$ из области определения функции арксинус, то есть при $-1 \le a \le 1$.

1) Выражение $\sin(\arcsin\frac{1}{7})$ является частным случаем доказанного тождества $\sin(\arcsin a) = a$ при $a = \frac{1}{7}$. Так как $-1 \le \frac{1}{7} \le 1$, тождество применимо. $\sin(\arcsin\frac{1}{7}) = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

2) Выражение $\sin(\arcsin(-\frac{1}{5}))$ также является частным случаем тождества $\sin(\arcsin a) = a$ при $a = -\frac{1}{5}$. Так как $-1 \le -\frac{1}{5} \le 1$, тождество применимо. $\sin(\arcsin(-\frac{1}{5})) = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

3) Для вычисления $\sin(\pi + \arcsin\frac{3}{4})$ воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = \arcsin\frac{3}{4}$. Получаем: $\sin(\pi + \arcsin\frac{3}{4}) = -\sin(\arcsin\frac{3}{4})$. Используя основное тождество $\sin(\arcsin a) = a$, имеем: $-\sin(\arcsin\frac{3}{4}) = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $\cos(\frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3})$ воспользуемся формулой приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha$. В нашем случае $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$. Получаем: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \arcsin\frac{1}{3}) = -\sin(\arcsin\frac{1}{3})$. Используя основное тождество $\sin(\arcsin a) = a$, имеем: $-\sin(\arcsin\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

5) Пусть $\alpha = \arcsin\frac{4}{5}$. Тогда по определению $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти $\cos(\arcsin\frac{4}{5}) = \cos \alpha$. Так как $\sin \alpha = \frac{4}{5} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус неотрицателен ($\cos \alpha \ge 0$). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Так как $\cos \alpha \ge 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

6) Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}$. Тогда по определению $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Нам нужно найти $\text{tg}(\arcsin\frac{1}{\sqrt{10}}) = \text{tg} \, \alpha$. Так как $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где косинус и тангенс неотрицательны. Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$. Так как $\cos \alpha \ge 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Теперь найдем тангенс: $\text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

1174. Доказать, что $ \arcsin(\sin \alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Вычислить:

1) $ 7 \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{7}\right) $

2) $ 4 \arcsin \left(\sin \frac{1}{2}\right) $

3) $ \arcsin \left(\sin \frac{6\pi}{7}\right) $

4) $ \arcsin(\sin 5) $

Доказательство тождества $ \arcsin(\sin\alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $
По определению, арксинус числа $x$ (обозначается $ \arcsin(x) $) — это угол $y$, синус которого равен $x$, причем этот угол находится в диапазоне от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. То есть, если $y = \arcsin(x)$, то выполняются два условия:
1. $\sin(y) = x$
2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим выражение $y = \arcsin(\sin\alpha)$. Применив к нему определение арксинуса (здесь роль $x$ играет $\sin\alpha$), получим:
1. $\sin(y) = \sin(\alpha)$
2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Из условия задачи мы знаем, что угол $\alpha$ также принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Функция $f(t) = \sin(t)$ является строго возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что на этом отрезке каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Поскольку $\sin(y) = \sin(\alpha)$ и оба угла, $y$ и $\alpha$, лежат в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, из этого с необходимостью следует, что $y = \alpha$. Таким образом, мы доказали, что $\arcsin(\sin\alpha) = \alpha$ при $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

1) Вычислить $7\arcsin(\sin\frac{\pi}{7})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{\pi}{7}$. Проверим, попадает ли этот угол в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0 < 1/7 < 1/2$), то условие $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{2}$ выполняется.
Следовательно, мы можем применить доказанное тождество: $\arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$.
Тогда исходное выражение равно: $7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

2) Вычислить $4\arcsin(\sin\frac{1}{2})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{1}{2}$ радиан. Проверим, попадает ли это значение в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Тогда $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Значение $\frac{1}{2} = 0.5$ находится в интервале $[-1.57, 1.57]$.
Значит, условие $-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2} \le \frac{\pi}{2}$ выполнено, и мы можем применить тождество: $\arcsin(\sin\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Тогда исходное выражение равно: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: $2$.

3) Вычислить $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{6\pi}{7}$. Проверим, попадает ли этот угол в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Сравним $\frac{6\pi}{7}$ с $\frac{\pi}{2}$. Это эквивалентно сравнению $\frac{6}{7}$ с $\frac{1}{2}$. Так как $6 \cdot 2 = 12$, а $7 \cdot 1 = 7$, то $12 > 7$, следовательно, $\frac{6}{7} > \frac{1}{2}$ и $\frac{6\pi}{7} > \frac{\pi}{2}$.
Угол $\frac{6\pi}{7}$ не принадлежит области значений арксинуса. Необходимо найти другой угол $\beta$, такой, что $\sin(\beta) = \sin(\frac{6\pi}{7})$ и $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.
Используем формулу приведения $\sin(x) = \sin(\pi - x)$.
$\sin(\frac{6\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{6\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 6\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{7})$.
Угол $\beta = \frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, как было показано в пункте 1.
Следовательно, $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7}) = \arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}$.

4) Вычислить $\arcsin(\sin 5)$
Аргумент синуса, $\alpha = 5$ радиан. Проверим, попадает ли это значение в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Приближенно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $5 > 1.57$, то угол $5$ не принадлежит области значений арксинуса.
Нам нужно найти такой угол $\beta$, что $\sin(\beta) = \sin(5)$ и $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что синус - периодическая функция с периодом $2\pi$, то есть $\sin(x) = \sin(x+2k\pi)$ для любого целого $k$.
Рассмотрим угол $5 - 2\pi$.
Приближенные значения: $2\pi \approx 6.28$, $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$5 - 2\pi \approx 5 - 6.28 = -1.28$.
Это значение находится в отрезке $[-1.57, 1.57]$, т.е. $-\frac{\pi}{2} \le 5 - 2\pi \le \frac{\pi}{2}$.
Так как $\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$ и угол $5-2\pi$ лежит в нужном диапазоне, то:
$\arcsin(\sin 5) = \arcsin(\sin(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi$.
Ответ: $5 - 2\pi$.

Вычислить (1175—1177).

1175. 1) $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$;

2) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{4}{5}\right)\right)$;

3) $\cos \left(\arcsin \left(-\frac{1}{3}\right)\right)$;

4) $\cos \left(\arcsin \frac{1}{4}\right)$.

Для решения этих задач воспользуемся тождеством, связывающим косинус и арксинус. Выведем его из основного тригонометрического тождества: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Пусть $ \alpha = \arcsin x $. По определению арксинуса, это означает, что $ \sin\alpha = x $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. На этом промежутке косинус является неотрицательной функцией, то есть $ \cos\alpha \ge 0 $. Из тождества следует, что $ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} $. Подставив $ \sin\alpha = x $, получаем общую формулу для вычисления: $ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} $.

1)
Применяем выведенную формулу для $ x = \frac{3}{5} $:
$ \cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25-9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

2)
Применяем формулу для $ x = -\frac{4}{5} $:
$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $.

3)
Применяем формулу для $ x = -\frac{1}{3} $:
$ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9-1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.
Ответ: $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

4)
Применяем формулу для $ x = \frac{1}{4} $:
$ \cos\left(\arcsin\frac{1}{4}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16-1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{15}}{4} $.

1176. 1) $\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right)$

2) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

1) $\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right)$

Для решения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{2}{3}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos(\alpha) = \frac{2}{3}$, и угол $\alpha$ находится в промежутке $0 \le \alpha \le \pi$.
Поскольку значение косинуса $\frac{2}{3}$ положительно, угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$), где синус также принимает положительные значения.
Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Выразим из него синус: $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$.
Так как синус в первой четверти положителен, получаем: $\sin(\alpha) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}$.
Подставим известное значение $\cos(\alpha)$:
$\sin\left(\arccos\frac{2}{3}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{9-4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

2) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$

В этом случае мы можем сначала вычислить значение внутреннего выражения, так как оно соответствует табличному значению косинуса.
Найдем $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$. По определению, это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$.
Мы знаем, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Косинус отрицателен во второй четверти. Угол во второй четверти, связанный с $\frac{\pi}{3}$, равен $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:
$\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
Это также табличное значение:
$\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

1177. 1) $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{2})$;

2) $\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5})$.

1) $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{2})$

Исходное выражение содержит $\arccos\frac{2\sqrt{2}}{2}$, что равносильно $\arccos\sqrt{2}$. Это выражение не определено, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, что больше 1, а область определения функции арккосинус — это отрезок $[-1, 1]$.

Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятным является предположение, что имелось в виду $\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$, значение которого равно $\frac{\pi}{4}$. Решим задачу с этим исправлением.

Требуется вычислить $\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{1}{3}$ и $\beta = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{1}{3}$. Так как область значений арксинуса для положительного аргумента — это $(0, \frac{\pi}{2})$, то $\cos\alpha$ будет положительным. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Для угла $\beta = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}$, мы знаем, что это табличное значение, и $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\cos\beta = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\beta = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденные значения в формулу синуса суммы:

$\sin(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot (\sqrt{2})^2}{6} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} = \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{4}{6} = \frac{4 + \sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $\frac{4 + \sqrt{2}}{6}$.

2) $\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5})$

Воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Пусть $\alpha = \arcsin\frac{3}{5}$ и $\beta = \arccos\frac{4}{5}$.

По определению арксинуса, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. Так как $0 < \frac{3}{5} < 1$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, значит $\cos\alpha > 0$. Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

По определению арккосинуса, $\cos\beta = \frac{4}{5}$. Так как $0 < \frac{4}{5} < 1$, угол $\beta$ находится в первой четверти, значит $\sin\beta > 0$. Найдем $\sin\beta$:

$\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Подставим найденные значения в формулу косинуса суммы:

$\cos(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5}) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}$

$= \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Замечание: можно заметить, что $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{4}{5}$. Также $\cos\beta = \frac{4}{5}$ и $\sin\beta = \frac{3}{5}$. Отсюда следует, что $\alpha = \beta$. Таким образом, выражение можно переписать как $\cos(2\alpha)$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем тот же результат: $(\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.

1178. Решить уравнение:

1) $ \arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right) = \frac{\pi}{6} $;

2) $ \arcsin(3-2x) = -\frac{\pi}{4} $.

1) $\arcsin(\frac{x}{2} - 3) = \frac{\pi}{6}$

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие $-1 \le a \le 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le b \le \frac{\pi}{2}$.
В данном уравнении $b = \frac{\pi}{6}$, что входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Применим определение арксинуса к нашему уравнению:

$\frac{x}{2} - 3 = \sin(\frac{\pi}{6})$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение и решим его относительно $x$:

$\frac{x}{2} - 3 = \frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{2} + 3$
$\frac{x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{6}{2}$
$\frac{x}{2} = \frac{7}{2}$
$x = 7$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса $-1 \le \frac{x}{2} - 3 \le 1$ при $x=7$:
$\frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5$
Так как $-1 \le 0.5 \le 1$, условие выполняется.

Ответ: $x = 7$.

2) $\arcsin(3 - 2x) = -\frac{\pi}{4}$

Аналогично первому пункту, используем определение арксинуса. Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в области значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому уравнение имеет решение.
$3 - 2x = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Значение синуса для угла $-\frac{\pi}{4}$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, так как синус — нечетная функция ($\sin(-y) = -\sin(y)$).
$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$3 - 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:

$-2x = -3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$2x = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \frac{3 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Проверим, выполняется ли условие для аргумента арксинуса $-1 \le 3 - 2x \le 1$.
Подставим $x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$:
$3 - 2(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = 3 - (3 + \frac{2\sqrt{2}}{4}) = 3 - 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$, что находится в интервале $[-1; 1]$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$.

1179. Доказать, что если $0 \le a \le 1$, то $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$.

Для доказательства данного тождества введем замену. Пусть $\alpha = \arcsin a$.

По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = a$ и главное значение угла $\alpha$ лежит в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Согласно условию задачи, $0 \le a \le 1$. Найдем, в каком диапазоне находится $\alpha$ при этом условии:

• Если $a=0$, то $\alpha = \arcsin 0 = 0$.
• Если $a=1$, то $\alpha = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция $\arcsin a$ является возрастающей, для всех $a$ в отрезке $[0, 1]$ соответствующий угол $\alpha$ будет находиться в отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $2\arcsin a = 2\alpha$. Так как $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то для левой части справедливо неравенство $0 \le 2\alpha \le \pi$.

Правая часть равенства, $\arccos(1-2a^2)$, по определению арккосинуса, также принимает значения в отрезке $[0, \pi]$.

Поскольку обе части доказываемого равенства принадлежат отрезку $[0, \pi]$, на котором функция косинус является взаимно-однозначной (инъективной), мы можем доказать равенство, показав, что косинусы обеих частей равны.

Найдем косинус левой части, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$\cos(2\arcsin a) = \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Так как $\sin\alpha = a$, то:

$\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

Теперь найдем косинус правой части. По определению арккосинуса, $\cos(\arccos x) = x$ для всех $x \in [-1, 1]$. Проверим, принадлежит ли выражение $1-2a^2$ этому отрезку.

Из условия $0 \le a \le 1$ следует, что $0 \le a^2 \le 1$. Умножая на 2, получаем $0 \le 2a^2 \le 2$. Умножая на -1, меняем знаки неравенства: $-2 \le -2a^2 \le 0$. Прибавляя 1 ко всем частям, получаем: $1-2 \le 1-2a^2 \le 1+0$, то есть $-1 \le 1-2a^2 \le 1$.

Так как аргумент арккосинуса находится в допустимом диапазоне, мы можем написать:

$\cos(\arccos(1-2a^2)) = 1-2a^2$.

Мы получили, что косинусы левой и правой частей исходного выражения равны:

$\cos(2\arcsin a) = \cos(\arccos(1-2a^2)) = 1-2a^2$.

Так как $2\arcsin a \in [0, \pi]$ и $\arccos(1-2a^2) \in [0, \pi]$, и их косинусы равны, то и сами выражения равны.

Следовательно, $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. При $0 \le a \le 1$ равенство $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$ является верным.