Страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1160–1161).

1) arcsin 0;

2) arcsin 1;

3) arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) arcsin $\frac{1}{2}$;

5) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

6) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, арксинусом числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) является угол $\alpha$, который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и синус которого равен $a$.
Таким образом, равенство $\arcsin a = \alpha$ справедливо, если выполняются два условия:
1) $\sin \alpha = a$
2) $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$
Также для арксинуса справедливо свойство нечетности: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

1) Требуется вычислить $\arcsin 0$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Этим углом является 0, поскольку $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $0$.

2) Требуется вычислить $\arcsin 1$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Требуется вычислить $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

4) Требуется вычислить $\arcsin \frac{1}{2}$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) Требуется вычислить $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

6) Требуется вычислить $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Из пункта 3) известно, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

1161. 1) $\arcsin 1 - \arcsin(-1)$;

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$;

3) $\arcsin \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$.

1) $\arcsin 1 - \arcsin(-1)$

По определению арксинуса, $\arcsin x$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.

Найдем значение $\arcsin 1$. Угол, синус которого равен 1, это $\frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Найдем значение $\arcsin(-1)$. Угол, синус которого равен -1, это $-\frac{\pi}{2}$. Этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Также можно использовать свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Тогда $\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$.

Теперь выполним вычитание:
$\arcsin 1 - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это свойство в выражение:
$\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} + \arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} - \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.

Другой способ – вычислить каждое значение отдельно.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ можно записать как $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Тогда сумма равна:
$\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$.

Ответ: $0$.

3) $\arcsin\frac{1}{2} + \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значение каждого слагаемого.

$\arcsin\frac{1}{2}$ – это угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$, и он принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ – это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$, и он принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Значит, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:
$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{1}{2})$

Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Суммируем значения:
$-\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Также можно было заметить, что это выражение является противоположным выражению из пункта 3):
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(-\frac{1}{2}) = -(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \arcsin(\frac{1}{2})) = -(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

1162. Сравнить числа:

1) $\arcsin\frac{1}{4}$ и $\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)$;

2) $\arcsin\left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\arcsin(-1)$.

Для сравнения чисел в обоих случаях воспользуемся свойством функции $y = \arcsin(x)$. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 > x_2$, то и $\arcsin(x_1) > \arcsin(x_2)$.

Сравним аргументы данных арксинусов: $\frac{1}{4}$ и $-\frac{1}{4}$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, то $\frac{1}{4} > -\frac{1}{4}$.
Так как функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции:
$\arcsin\frac{1}{4} > \arcsin(-\frac{1}{4})$.

Ответ: $\arcsin\frac{1}{4} > \arcsin(-\frac{1}{4})$.

Сравним аргументы данных арксинусов: $-\frac{3}{4}$ и $-1$.
Мы знаем, что $-\frac{3}{4} = -0.75$. Так как $-0.75 > -1$, то $-\frac{3}{4} > -1$.
Так как функция $y = \arcsin(x)$ является возрастающей, то из неравенства для аргументов следует такое же неравенство для значений функции:
$\arcsin(-\frac{3}{4}) > \arcsin(-1)$.
(Также можно отметить, что $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, и так как $-\frac{3}{4} > -1$, то значение $\arcsin(-\frac{3}{4})$ будет больше, чем $-\frac{\pi}{2}$).

Ответ: $\arcsin(-\frac{3}{4}) > \arcsin(-1)$.

Решить уравнение (1163–1166).

1163.

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

2) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} $.

1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Общее решение такого уравнения записывается по формуле:

$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение $a$ находится в пределах от -1 до 1, поэтому уравнение имеет решения.

Найдем главное значение арксинуса. Арксинус числа $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в общую формулу для решения:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Данное уравнение также решается с помощью общей формулы для синуса:

$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем главное значение арксинуса. $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это табличное значение: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим найденное значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе дроби:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Снова воспользуемся общей формулой решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения арксинуса отрицательного числа используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Так как из предыдущего примера мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эту запись можно упростить, используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1164. 1) $\sin x = \frac{2}{7}$;

2) $\sin x = -\frac{1}{4}$;

3) $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

1)

Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{2}{7}$.

Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, выглядит следующим образом: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

В данном случае $a = \frac{2}{7}$. Сначала проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$: $|\frac{2}{7}| = \frac{2}{7}$. Так как $2 < 7$, то $\frac{2}{7} < 1$. Условие выполняется, значит, уравнение имеет решения.

Число $\frac{2}{7}$ не является стандартным табличным значением для синуса, поэтому решение выражается через арксинус этого числа.

Подставляем $a = \frac{2}{7}$ в общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\sin x = -\frac{1}{4}$.

Используем ту же общую формулу для решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{4}$. Проверим условие $|a| \le 1$: $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} \le 1$. Условие выполняется.

Применим свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Подставим это в общую формулу: $x = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) + \pi k$.

Вынесем минус за скобки: $x = -1 \cdot (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Общая формула решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Проверим условие $|a| \le 1$. Поскольку значение положительное, нам нужно проверить, что $\frac{\sqrt{5}}{3} \le 1$.

Сравним $\sqrt{5}$ и $3$. Для этого возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.

Так как $5 < 9$, то и $\sqrt{5} < 3$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Условие выполняется, и уравнение имеет решения.

Значение $\frac{\sqrt{5}}{3}$ не является табличным, поэтому оставляем решение в виде арксинуса.

Подставляем $a$ в общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1165. 1) $\sin 3x = 1$;

2) $\sin 2x = -1$;

3) $\sqrt{2}\sin\frac{x}{3} = -1$;

4) $2\sin\frac{x}{2} = \sqrt{3}$;

5) $\sin\left(x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0$;

6) $\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 0$.

1) Решим уравнение $ \sin(3x) = 1 $.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Значение синуса равно 1, когда его аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n $ - любое целое число ($ n \in Z $).

Приравниваем аргумент синуса к этому выражению:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

2) Решим уравнение $ \sin(2x) = -1 $.

Это также частный случай. Значение синуса равно -1, когда его аргумент равен $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Приравниваем аргумент синуса:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

3) Решим уравнение $ \sqrt{2}\sin\frac{x}{3} = -1 $.

Сначала выразим $ \sin\frac{x}{3} $, разделив обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель: $ \sin\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in Z $.

В нашем случае $ y = \frac{x}{3} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$ \frac{x}{3} = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in Z $

$ \frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $

Теперь умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z $

4) Решим уравнение $ 2\sin\frac{x}{2} = \sqrt{3} $.

Выразим $ \sin\frac{x}{2} $, разделив обе части на 2:

$ \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $.

Здесь $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.

Подставляем в формулу:

$ \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

5) Решим уравнение $ \sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) = 0 $.

Это частный случай. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi k $, где $ k \in Z $.

$ x + \frac{3\pi}{4} = \pi k, k \in Z $

Выразим $ x $, перенеся $ \frac{3\pi}{4} $ в правую часть:

$ x = -\frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

6) Решим уравнение $ \sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Синус равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi n $, где $ n \in Z $.

$ 2x + \frac{\pi}{2} = \pi n, n \in Z $

Сначала выразим $ 2x $:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n $

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

1166. 1) $\sin4x \cos2x = \cos4x \sin2x;$

2) $\cos2x \sin3x = \sin2x \cos3x.$

1) Дано уравнение $sin(4x)cos(2x) = cos(4x)sin(2x)$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$sin(4x)cos(2x) - cos(4x)sin(2x) = 0$

Левая часть этого уравнения является развернутой формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 4x$ и $\beta = 2x$. Применим эту формулу, чтобы свернуть выражение:

$sin(4x - 2x) = 0$

$sin(2x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по формуле:

$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $cos(2x)sin(3x) = sin(2x)cos(3x)$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (например, в левую), поменяв знак у переносимых слагаемых:

$sin(3x)cos(2x) - sin(2x)cos(3x) = 0$

Как и в предыдущем задании, мы видим формулу синуса разности: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.

Здесь $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$. Свернем левую часть уравнения по этой формуле:

$sin(3x - 2x) = 0$

$sin(x) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.