Номер 1160, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1160–1161).

1) arcsin 0;

2) arcsin 1;

3) arcsin $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

4) arcsin $\frac{1}{2}$;

5) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

6) arcsin $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

По определению, арксинусом числа $a$ (обозначается как $\arcsin a$) является угол $\alpha$, который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и синус которого равен $a$.
Таким образом, равенство $\arcsin a = \alpha$ справедливо, если выполняются два условия:
1) $\sin \alpha = a$
2) $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$
Также для арксинуса справедливо свойство нечетности: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

1) Требуется вычислить $\arcsin 0$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 0. Этим углом является 0, поскольку $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $0$.

2) Требуется вычислить $\arcsin 1$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, поскольку $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Требуется вычислить $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

4) Требуется вычислить $\arcsin \frac{1}{2}$. Необходимо найти угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Это известное табличное значение, которому соответствует угол $\frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) Требуется вычислить $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, то есть $\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

6) Требуется вычислить $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Из пункта 3) известно, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.