Номер 1165, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1165. 1) $\sin 3x = 1$;

2) $\sin 2x = -1$;

3) $\sqrt{2}\sin\frac{x}{3} = -1$;

4) $2\sin\frac{x}{2} = \sqrt{3}$;

5) $\sin\left(x + \frac{3\pi}{4}\right) = 0$;

6) $\sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 0$.

1) Решим уравнение $ \sin(3x) = 1 $.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Значение синуса равно 1, когда его аргумент равен $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n $ - любое целое число ($ n \in Z $).

Приравниваем аргумент синуса к этому выражению:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

2) Решим уравнение $ \sin(2x) = -1 $.

Это также частный случай. Значение синуса равно -1, когда его аргумент равен $ -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Приравниваем аргумент синуса:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $

Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

3) Решим уравнение $ \sqrt{2}\sin\frac{x}{3} = -1 $.

Сначала выразим $ \sin\frac{x}{3} $, разделив обе части уравнения на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Рационализируем знаменатель: $ \sin\frac{x}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение для уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in Z $.

В нашем случае $ y = \frac{x}{3} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$ \frac{x}{3} = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k, k \in Z $

$ \frac{x}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $

Теперь умножим обе части на 3, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in Z $

4) Решим уравнение $ 2\sin\frac{x}{2} = \sqrt{3} $.

Выразим $ \sin\frac{x}{2} $, разделив обе части на 2:

$ \sin\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Используем общую формулу решения $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in Z $.

Здесь $ y = \frac{x}{2} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $. $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $.

Подставляем в формулу:

$ \frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $

Умножим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

5) Решим уравнение $ \sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) = 0 $.

Это частный случай. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi k $, где $ k \in Z $.

$ x + \frac{3\pi}{4} = \pi k, k \in Z $

Выразим $ x $, перенеся $ \frac{3\pi}{4} $ в правую часть:

$ x = -\frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in Z $

6) Решим уравнение $ \sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Синус равен нулю, когда его аргумент равен $ \pi n $, где $ n \in Z $.

$ 2x + \frac{\pi}{2} = \pi n, n \in Z $

Сначала выразим $ 2x $:

$ 2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n $

Теперь разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:

$ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $