Номер 1155, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1155. Доказать, что при всех значениях $a$, таких, что $-1 \le a \le 1$, выполняется равенство $\cos(\arccos a) = a$. Вычислить:

1) $\cos(\arccos 0,2)$;

2) $\cos\left(\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\right)$;

3) $\cos\left(\pi + \arccos \frac{3}{4}\right)$;

4) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos \frac{1}{3}\right)$;

5) $\sin\left(\arccos \frac{4}{5}\right)$;

6) $\text{tg}\left(\arccos \frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.

Доказательство равенства $\cos(\arccos a) = a$

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это такое число (угол) $\alpha$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. $\cos \alpha = a$
2. $0 \le \alpha \le \pi$

Это определение имеет смысл только для $a$, принадлежащих отрезку $[-1, 1]$, так как это область значений функции косинус.

Рассмотрим выражение $\cos(\arccos a)$. Пусть $\alpha = \arccos a$. Тогда, согласно первому пункту определения, $\cos \alpha = a$. Если мы подставим $\arccos a$ обратно вместо $\alpha$, мы получим:

$\cos(\arccos a) = a$.

Это равенство является прямым следствием определения функции арккосинус и выполняется для всех $a$ из её области определения, то есть для $-1 \le a \le 1$. Что и требовалось доказать.

Вычисления:

1) $\cos(\arccos 0,2)$

Применяем доказанное выше тождество $\cos(\arccos a) = a$. В данном случае $a = 0,2$. Условие $-1 \le 0,2 \le 1$ выполняется.

$\cos(\arccos 0,2) = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

2) $\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$

Аналогично, применяем тождество $\cos(\arccos a) = a$ для $a = -\frac{2}{3}$. Условие $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$ выполняется.

$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right) = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

3) $\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right)$

Используем формулу приведения для косинуса: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{4}$. Тогда выражение принимает вид:

$\cos\left(\pi + \arccos\frac{3}{4}\right) = -\cos\left(\arccos\frac{3}{4}\right)$.

Теперь, используя тождество $\cos(\arccos a) = a$, получаем:

$-\cos\left(\arccos\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

4) $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right)$

Используем формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$.

Пусть $\alpha = \arccos\frac{1}{3}$. Тогда:

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \arccos\frac{1}{3}\right) = \cos\left(\arccos\frac{1}{3}\right)$.

Применяя тождество $\cos(\arccos a) = a$, находим:

$\cos\left(\arccos\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Чтобы найти $\sin \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

Следовательно, $\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, синус в этом интервале неотрицателен ($\sin \alpha \ge 0$). Поэтому мы выбираем положительное значение.

$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

6) $\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{\sqrt{10}}$. Это означает, что $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$, который равен $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Найдем $\sin \alpha$ из основного тригонометрического тождества.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$.

$\sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, $\sin \alpha \ge 0$, значит $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Теперь вычисляем тангенс:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.