Номер 1150, страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1150. Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $arccos(\sqrt{6} - 3)$;

2) $arccos(\sqrt{7} - 2)$;

3) $arccos(2 - \sqrt{10})$;

4) $arccos(1 - \sqrt{5})$;

5) $tg(3arccos(\frac{1}{2}))$;

6) $arccos(cos3)$.

Для того чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение, нужно проверить, принадлежат ли аргументы функций их областям определения.

1) $\arccos(\sqrt{6} - 3)$

Выражение $\arccos(x)$ определено (имеет смысл) при условии, что его аргумент $x$ находится в пределах отрезка $[-1, 1]$, то есть $-1 \le x \le 1$.

В данном случае $x = \sqrt{6} - 3$. Оценим значение этого выражения. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{6} < 3$. Для более точной оценки: $2.4^2 = 5.76$ и $2.5^2 = 6.25$, значит $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $2.4 - 3 < \sqrt{6} - 3 < 2.5 - 3$, что дает $-0.6 < \sqrt{6} - 3 < -0.5$.

Поскольку значение $\sqrt{6} - 3$ находится в интервале $(-0.6, -0.5)$, который полностью входит в отрезок $[-1, 1]$, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\arccos(\sqrt{7} - 2)$

Проверяем условие $-1 \le \sqrt{7} - 2 \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$. Для более точной оценки: $2.6^2 = 6.76$ и $2.7^2 = 7.29$, значит $2.6 < \sqrt{7} < 2.7$.

Вычтем 2 из всех частей неравенства: $2.6 - 2 < \sqrt{7} - 2 < 2.7 - 2$, что дает $0.6 < \sqrt{7} - 2 < 0.7$.

Значение $\sqrt{7} - 2$ находится в интервале $(0.6, 0.7)$, который полностью входит в отрезок $[-1, 1]$, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\arccos(2 - \sqrt{10})$

Проверяем условие $-1 \le 2 - \sqrt{10} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{10}$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, следовательно, $3 < \sqrt{10} < 4$.

Проверим левую часть неравенства: $ -1 \le 2 - \sqrt{10}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{10} \le 3$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{10})^2 \le 3^2$, что дает $10 \le 9$. Это неверно. Значит, $2 - \sqrt{10} < -1$.

Поскольку аргумент $2 - \sqrt{10}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\arccos(1 - \sqrt{5})$

Проверяем условие $-1 \le 1 - \sqrt{5} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$.

Проверим левую часть неравенства: $-1 \le 1 - \sqrt{5}$. Это неравенство эквивалентно $\sqrt{5} \le 2$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{5})^2 \le 2^2$, что дает $5 \le 4$. Это неверно. Значит, $1 - \sqrt{5} < -1$.

Поскольку аргумент $1 - \sqrt{5}$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{tg}(3\arccos\frac{1}{2})$

Сначала нужно убедиться, что внутреннее выражение $\arccos\frac{1}{2}$ имеет смысл. Так как $\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, арккосинус определен.

Вычислим его значение: $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\text{tg}(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\pi)$.

Функция $\text{tg}(y)$ определена для всех $y$, кроме тех, где $\cos(y) = 0$. Это происходит при $y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.

В нашем случае $y = \pi$. Так как $\pi \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ ни для какого целого $k$, функция $\text{tg}(\pi)$ определена (ее значение равно 0).

Следовательно, все выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

6) $\arccos(\cos3)$

Выражение $\arccos(x)$ определено, если $-1 \le x \le 1$. В данном случае $x = \cos3$.

Область значений функции косинус, $\cos(y)$, для любого действительного аргумента $y$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Поскольку значение $\cos3$ всегда лежит в пределах отрезка $[-1, 1]$, аргумент арккосинуса корректен.

Следовательно, выражение $\arccos(\cos3)$ имеет смысл. (Угол 3 считается в радианах. Так как $0 < 3 < \pi \approx 3.14$, то $\arccos(\cos3) = 3$).

Ответ: имеет смысл.