Страница 326 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (1143-1144).

1143.

1) $arccos0$;

2) $arccos1$;

3) $arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $arccos \frac{1}{2}$;

5) $arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

6) $arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

По определению арккосинуса, $ \arccos(a) $ — это такое число (угол) $ \alpha $ из отрезка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ a $. То есть, $ \arccos(a) = \alpha $, если $ \cos(\alpha) = a $ и $ 0 \le \alpha \le \pi $.

1) Для вычисления $ \arccos(0) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = 0 $.
Общее решение уравнения $ \cos(\alpha) = 0 $ имеет вид $ \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — целое число.
Из всех этих значений в отрезок $ [0; \pi] $ попадает только одно значение, при $ k = 0 $: $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.
Таким образом, $ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

2) Для вычисления $ \arccos(1) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = 1 $.
Общее решение уравнения $ \cos(\alpha) = 1 $ имеет вид $ \alpha = 2\pi k $, где $ k $ — целое число.
Из всех этих значений в отрезок $ [0; \pi] $ попадает только одно значение, при $ k = 0 $: $ \alpha = 0 $.
Таким образом, $ \arccos(1) = 0 $.

Ответ: $ 0 $

3) Для вычисления $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Это известное табличное значение. Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Так как $ \frac{\pi}{4} \in [0; \pi] $, то это и есть искомое значение.
Таким образом, $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

4) Для вычисления $ \arccos(\frac{1}{2}) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} $.
Это известное табличное значение. Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.
Так как $ \frac{\pi}{3} \in [0; \pi] $, то это и есть искомое значение.
Таким образом, $ \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

5) Для вычисления $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Используем свойство арккосинуса для отрицательных аргументов: $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
В нашем случае: $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) $.
Мы знаем, что $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0; \pi] $.
Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $

6) Для вычисления $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $ необходимо найти угол $ \alpha \in [0; \pi] $, такой что $ \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $.
В нашем случае: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) $.
Из пункта 3 мы знаем, что $ \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $.
Следовательно, $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $

1144. 1) $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1;$

2) $3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0;$

3) $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right);$

4) $4 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 6 \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$

1) Для вычисления значения выражения $2 \arccos 0 + 3 \arccos 1$ найдем значения арккосинусов.
По определению, $\arccos x$ - это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$.
$\arccos 1 = 0$, так как $\cos(0) = 1$ и $0 \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \arccos 0 + 3 \arccos 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 3 \cdot 0 = \pi + 0 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

2) Для вычисления значения выражения $3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0$ найдем значения арккосинусов.
$\arccos(-1) = \pi$, так как $\cos(\pi) = -1$ и $\pi \in [0; \pi]$.
$\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$.
Подставим найденные значения в выражение:
$3 \arccos(-1) - 2 \arccos 0 = 3 \cdot \pi - 2 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi - \pi = 2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

3) Для вычисления значения выражения $12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos(-\frac{1}{2})$ найдем значения арккосинусов.
$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{6} \in [0; \pi]$.
Для нахождения $\arccos(-\frac{1}{2})$ используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставим найденные значения в выражение:
$12 \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \arccos(-\frac{1}{2}) = 12 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi - 2\pi = 0$.
Ответ: $0$.

4) Для вычисления значения выражения $4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ найдем значения арккосинусов.
Используем формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставим найденные значения в выражение:
$4 \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} + 6 \cdot \frac{5\pi}{6} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$.
Ответ: $8\pi$.