Страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1142. В книге «Железнодорожный путь» (автор Г. М. Шахунянц) приводится следующая задача: «Железнодорожная колея делает петлю для разворота локомотивов. Линия $ABCDE$ (рис. 125) изображает ось половины этой петли, где $AB$ и $CDE$ — дуги окружностей радиуса $R$, $BC$ — прямолинейная вставка. Найти длину $l$ оси всей петли, если $R = 200$ м, $CB = 4$ м, $OA_1 = 2$ м (половина расстояния между соседними колеями)».

Для решения задачи необходимо найти длину половины оси петли, которая состоит из трёх участков: дуги AB, прямолинейной вставки BC и дуги CDE, а затем удвоить полученное значение. Полная длина оси петли $l$ вычисляется по формуле:

$l = 2 \cdot (L_{AB} + L_{BC} + L_{CDE})$

где $L_{AB}$ — длина дуги AB, $L_{BC}$ — длина отрезка BC, $L_{CDE}$ — длина дуги CDE.

Из условия задачи нам известно:

• Радиус дуг AB и CDE: $R = 200$ м.
• Длина прямолинейной вставки: $L_{BC} = CB = 4$ м.
• Параметр $OA_1 = 2$ м.

Конструкция петли для разворота симметрична относительно оси, проходящей через точку E. Участок ABCDE — это половина всей петли. Дуга AB является переходной кривой, которая плавно соединяет прямой путь с криволинейным участком BC. Дуга CDE является частью основной кривой петли.

В задачах по проектированию железнодорожных путей параметр, обозначенный как $OA_1$, часто интерпретируется как величина смещения (стрела прогиба) переходной кривой. Это вертикальное смещение, которое обеспечивает переходная дуга AB.

Пусть $\alpha$ — центральный угол дуги AB. Тогда её длина $L_{AB} = R \cdot \alpha$. Вертикальное смещение, создаваемое этой дугой, вычисляется по формуле:

$h = R(1 - \cos\alpha)$

Примем, что $OA_1$ и есть это смещение, то есть $h = OA_1 = 2$ м.

$2 = 200 \cdot (1 - \cos\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\cos\alpha$:

$1 - \cos\alpha = \frac{2}{200} = 0.01$

$\cos\alpha = 1 - 0.01 = 0.99$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(0.99)$

Из-за симметрии петли, дуга CDE, которая обеспечивает переход от прямолинейной вставки BC к вершине петли E (где касательная горизонтальна), также имеет центральный угол $\alpha$. Таким образом, длина дуги CDE также равна $L_{CDE} = R \cdot \alpha$.

Теперь мы можем вычислить общую длину оси петли $l$:

$l = 2 \cdot (L_{AB} + L_{BC} + L_{CDE}) = 2 \cdot (R\alpha + L_{BC} + R\alpha) = 2 \cdot (2R\alpha + L_{BC}) = 4R\alpha + 2L_{BC}$

Подставим известные значения:

$l = 4 \cdot 200 \cdot \arccos(0.99) + 2 \cdot 4 = 800 \cdot \arccos(0.99) + 8$

Для вычисления значения $\arccos(0.99)$ можно воспользоваться калькулятором. Значение угла в радианах: $\alpha \approx 0.1415$ рад.

$l \approx 800 \cdot 0.1415 + 8 = 113.2 + 8 = 121.2$ м.

Таким образом, полная длина оси петли составляет приблизительно 121,2 метра.

Ответ: Длина оси всей петли $l = 800 \cdot \arccos(0.99) + 8 \approx 121.2$ м.

1. Дать определение угла в 1 радиан; в 1 градус.

Определение угла в 1 радиан

Радиан — это единица измерения плоских углов, основанная на свойствах окружности. Она является основной единицей измерения углов в математике, физике и инженерии, а также в Международной системе единиц (СИ).

Угол в 1 радиан — это центральный угол, который вырезает на окружности дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.

Математически, если радиус окружности равен $r$, а длина дуги, стягиваемой центральным углом $\alpha$, равна $l$, то величина угла в радианах определяется формулой:

$\alpha \text{ (рад)} = \frac{l}{r}$

Соответственно, когда длина дуги равна радиусу ($l = r$), угол составляет:

$\alpha = \frac{r}{r} = 1$ радиан.

Поскольку длина всей окружности равна $2\pi r$, полный угол составляет $2\pi$ радиан. Развернутый угол ($180^{\circ}$) равен $\pi$ радиан. Из этого соотношения можно найти приближенное значение одного радиана в градусах:

$1 \text{ радиан} = \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 57,2958^{\circ}$

Ответ: 1 радиан — это величина центрального угла, для которого длина соответствующей ему дуги окружности равна её радиусу.

Определение угла в 1 градус

Градус (или угловой градус) — это более древняя и широко используемая в повседневной жизни единица измерения углов.

Угол в 1 градус (обозначается как $1^{\circ}$) — это угол, равный $\frac{1}{360}$ части полного оборота. Другими словами, если разделить окружность на 360 равных дуг, то центральный угол, опирающийся на одну такую дугу, будет равен одному градусу.

Эта система измерения пришла из Древнего Вавилона. Деление окружности на 360 частей было удобным, так как число 360 имеет множество делителей (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 и т.д.), что упрощало вычисления в докалькуляторную эпоху.

Таким образом, в градусной мере:

• Полный угол (один оборот) равен $360^{\circ}$.
• Развернутый угол (половина оборота) равен $180^{\circ}$.
• Прямой угол (четверть оборота) равен $90^{\circ}$.

Ответ: 1 градус — это центральный угол, равный $\frac{1}{360}$ части полной окружности.

2. По каким формулам переводят радианную меру угла в градусную и наоборот?

Для перевода между радианной и градусной мерами угла используется основное соотношение, которое связывает эти две единицы измерения. Полный оборот по окружности составляет $360$ градусов ($360^\circ$) или $2\pi$ радиан. Из этого следует ключевое для всех вычислений равенство:

$ \pi \text{ радиан} = 180^\circ $

На основе этого соотношения и строятся формулы для взаимного перевода.

Перевод радианной меры в градусную

Чтобы найти градусную меру угла, зная его радианную меру, необходимо значение угла в радианах умножить на $\frac{180^\circ}{\pi}$. Это соотношение получается из основного равенства, если выразить $1$ радиан в градусах: $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

Если $ \alpha_{рад} $ — величина угла в радианах, а $ \alpha_{град} $ — величина того же угла в градусах, то формула перевода выглядит так:

$ \alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $

Пример: Переведем угол $\frac{2\pi}{3}$ радиан в градусы.

$ \alpha_{град} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 2 \cdot \frac{180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $

Ответ: для перевода радианной меры угла в градусную используется формула $ \alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} $.

Перевод градусной меры в радианную

Чтобы найти радианную меру угла, зная его градусную меру, необходимо значение угла в градусах умножить на $\frac{\pi}{180^\circ}$. Это соотношение также получается из основного равенства, если выразить $1$ градус в радианах: $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан.

Формула перевода из градусов в радианы:

$ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $

Пример: Переведем угол $270^\circ$ в радианы.

$ \alpha_{рад} = 270^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2} $ радиан.

Ответ: для перевода градусной меры угла в радианную используется формула $ \alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} $.

3. Дать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Тригонометрические функции угла можно определить двумя основными способами: через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике (для острых углов) и с помощью единичной окружности (для любого угла).

Синус

В прямоугольном треугольнике синусом острого угла $\alpha$ называется отношение длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы.

На единичной окружности (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат) синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P(x, y)$, полученной в результате поворота точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки.

Ответ: Синус угла $\alpha$ – это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Формула: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

Косинус

В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла $\alpha$ называется отношение длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы.

На единичной окружности косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P(x, y)$, полученной в результате поворота точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$.

Ответ: Косинус угла $\alpha$ – это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Формула: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

Тангенс

В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Тангенс также определяется как отношение синуса угла к его косинусу. Это определение является более общим. Тангенс определён для всех углов $\alpha$, кроме тех, где $\cos \alpha = 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.

Ответ: Тангенс угла $\alpha$ – это отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, или отношение синуса к косинусу. Формула: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Котангенс

В прямоугольном треугольнике котангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Котангенс также определяется как отношение косинуса угла к его синусу (или как величина, обратная тангенсу). Котангенс определён для всех углов $\alpha$, кроме тех, где $\sin \alpha = 0$, то есть $\alpha \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число.

Ответ: Котангенс угла $\alpha$ – это отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике, или отношение косинуса к синусу. Формула: $\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.

4. Какие зависимости существуют между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла?

Между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла $\alpha$ существуют несколько фундаментальных зависимостей, которые называются тригонометрическими тождествами. Они позволяют, зная значение одной из этих функций, находить значения двух других (с учетом знака, который зависит от четверти, в которой находится угол).

Вот основные из этих зависимостей:

Основное тригонометрическое тождество

Это ключевое соотношение, связывающее синус и косинус. Оно следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катеты которого равны $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, а гипотенуза равна 1 (в контексте единичной окружности). Равенство гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице.

Ответ: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Определение тангенса

Тангенс угла по определению является отношением синуса этого угла к его косинусу. Эта зависимость является определением тангенса и позволяет вычислить его, если известны синус и косинус. Важно помнить, что это тождество имеет смысл только тогда, когда косинус угла не равен нулю, то есть при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Связь тангенса и косинуса

Это тождество является следствием двух предыдущих. Его можно получить, если разделить обе части основного тригонометрического тождества ($\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$) на $\cos^2\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Так как $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:

$\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Это тождество очень полезно для нахождения косинуса (а затем и синуса) по известному тангенсу.

Ответ: $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

5. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.

Знаки тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) зависят от того, в какой координатной четверти находится угол. Для определения знаков используется единичная окружность, где точка, соответствующая углу $\alpha$, имеет координаты $(x, y)$. По определению, для этой точки:

• Синус угла – это ордината точки: $\sin(\alpha) = y$
• Косинус угла – это абсцисса точки: $\cos(\alpha) = x$
• Тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$
• Котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$

Рассмотрим знаки в каждой из четырех координатных четвертей.

I четверть (от $0^\circ$ до $90^\circ$ или от $0$ до $\frac{\pi}{2}$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ и ордината $y$ положительны ($x > 0, y > 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «+» (положительный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «+» (положительный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение двух положительных чисел) имеет знак «+» (положительный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение двух положительных чисел) имеет знак «+» (положительный).

Ответ: В I четверти все тригонометрические функции ($\sin$, $\cos$, $\tan$, $\cot$) имеют знак «+».

II четверть (от $90^\circ$ до $180^\circ$ или от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ отрицательна, а ордината $y$ положительна ($x < 0, y > 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «+» (положительный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение положительного числа к отрицательному) имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение отрицательного числа к положительному) имеет знак «-» (отрицательный).

Ответ: Во II четверти синус ($\sin$) имеет знак «+», а косинус ($\cos$), тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «-».

III четверть (от $180^\circ$ до $270^\circ$ или от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ и ордината $y$ отрицательны ($x < 0, y < 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение двух отрицательных чисел) имеет знак «+» (положительный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение двух отрицательных чисел) имеет знак «+» (положительный).

Ответ: В III четверти тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «+», а синус ($\sin$) и косинус ($\cos$) имеют знак «-».

IV четверть (от $270^\circ$ до $360^\circ$ или от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$ радиан)

В этой четверти абсцисса $x$ положительна, а ордината $y$ отрицательна ($x > 0, y < 0$). Следовательно:

• $\sin(\alpha) = y$ имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cos(\alpha) = x$ имеет знак «+» (положительный).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (отношение отрицательного числа к положительному) имеет знак «-» (отрицательный).
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (отношение положительного числа к отрицательному) имеет знак «-» (отрицательный).

Ответ: В IV четверти косинус ($\cos$) имеет знак «+», а синус ($\sin$), тангенс ($\tan$) и котангенс ($\cot$) имеют знак «-».

Для удобства можно представить знаки в виде сводной таблицы:

6. Каковы значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов $0$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$?

Для нахождения значений тригонометрических функций для заданных углов мы воспользуемся определениями этих функций на единичной окружности и их основными свойствами. Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу ($ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $), а котангенс — как отношение косинуса к синусу ($ \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $). Если в знаменателе оказывается ноль, функция считается неопределенной для данного угла.

0

Для угла $0$ радиан (или $0^\circ$) значения тригонометрических функций следующие:

Синус: $ \sin(0) = 0 $.

Косинус: $ \cos(0) = 1 $.

Тангенс: $ \tg(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0 $.

Котангенс: $ \ctg(0) = \frac{\cos(0)}{\sin(0)} = \frac{1}{0} $. Значение не определено, так как происходит деление на ноль.

Ответ: $ \sin(0)=0 $, $ \cos(0)=1 $, $ \tg(0)=0 $, $ \ctg(0) $ не определен.

$ \frac{\pi}{6} $

Для угла $ \frac{\pi}{6} $ радиан (или $30^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{\cos(\frac{\pi}{6})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3} $, $ \ctg(\frac{\pi}{6})=\sqrt{3} $.

$ \frac{\pi}{4} $

Для угла $ \frac{\pi}{4} $ радиан (или $45^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1 $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{4}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1 $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{4})=1 $, $ \ctg(\frac{\pi}{4})=1 $.

$ \frac{\pi}{3} $

Для угла $ \frac{\pi}{3} $ радиан (или $60^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} $.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{3})}{\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2} $, $ \tg(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3} $, $ \ctg(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{3} $.

$ \frac{\pi}{2} $

Для угла $ \frac{\pi}{2} $ радиан (или $90^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $.

Косинус: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.

Тангенс: $ \tg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{0} $. Значение не определено.

Котангенс: $ \ctg(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.

Ответ: $ \sin(\frac{\pi}{2})=1 $, $ \cos(\frac{\pi}{2})=0 $, $ \tg(\frac{\pi}{2}) $ не определен, $ \ctg(\frac{\pi}{2})=0 $.

$ \pi $

Для угла $ \pi $ радиан (или $180^\circ$):

Синус: $ \sin(\pi) = 0 $.

Косинус: $ \cos(\pi) = -1 $.

Тангенс: $ \tg(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Котангенс: $ \ctg(\pi) = \frac{\cos(\pi)}{\sin(\pi)} = \frac{-1}{0} $. Значение не определено.

Ответ: $ \sin(\pi)=0 $, $ \cos(\pi)=-1 $, $ \tg(\pi)=0 $, $ \ctg(\pi) $ не определен.

$ \frac{3\pi}{2} $

Для угла $ \frac{3\pi}{2} $ радиан (или $270^\circ$):

Синус: $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $.

Косинус: $ \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 $.

Тангенс: $ \tg(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\sin(\frac{3\pi}{2})}{\cos(\frac{3\pi}{2})} = \frac{-1}{0} $. Значение не определено.

Котангенс: $ \ctg(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0 $.

Ответ: $ \sin(\frac{3\pi}{2})=-1 $, $ \cos(\frac{3\pi}{2})=0 $, $ \tg(\frac{3\pi}{2}) $ не определен, $ \ctg(\frac{3\pi}{2})=0 $.

7. Как найти значения косинуса, тангенса и котангенса угла $\alpha$, если известно значение $\sin\alpha$ и в какой четверти находится угол $\alpha$?

Чтобы найти значения косинуса, тангенса и котангенса угла $\alpha$, если известно значение $\sin\alpha$ и четверть, в которой находится угол, необходимо последовательно применить основные тригонометрические формулы.

Косинус

Для нахождения косинуса используется основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Из этого тождества выражаем $\cos\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Выбор знака («+» или «−») перед корнем зависит от четверти, в которой находится угол $\alpha$. Косинус положителен (выбираем «+») для углов в I и IV четвертях. Косинус отрицателен (выбираем «−») для углов во II и III четвертях. Так как четверть известна, знак определяется однозначно.

Ответ: Значение косинуса вычисляется по формуле $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$, где знак определяется по четверти, в которой расположен угол $\alpha$.

Тангенс

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу. После того как значение $\cos\alpha$ найдено, тангенс вычисляется по формуле:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

В эту формулу подставляется известное значение $\sin\alpha$ и вычисленное на предыдущем шаге значение $\cos\alpha$.

Ответ: Значение тангенса вычисляется по формуле $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Котангенс

Котангенс угла можно найти одним из двух способов:

1. Через отношение косинуса к синусу:

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

2. Как величину, обратную тангенсу (если $\tan\alpha$ уже вычислен и не равен нулю):

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$

Оба способа дадут одинаковый результат.

Ответ: Значение котангенса вычисляется по формуле $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ или $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$.

8. Сформулировать правила для запоминания формул приведения.

Формулы приведения служат для преобразования тригонометрических функций углов вида $\frac{n\pi}{2} \pm \alpha$ к функциям угла $\alpha$. Для их запоминания используют простое мнемоническое правило, которое можно разбить на два шага.

Правило 1: Определение знака конечной функции

Знак в правой части формулы определяется по знаку исходной функции. Алгоритм следующий:

1. Принимаем угол $\alpha$ за острый угол первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$).
2. Определяем, в какой координатной четверти находится весь угол, стоящий под знаком исходной функции (например, угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, а угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ — в IV).
3. Определяем знак, который имеет исходная функция в этой четверти.
4. Этот знак ставится перед полученной в результате функцией.

Например, для выражения $\cos(\pi + \alpha)$:

Угол $(\pi + \alpha)$ находится в III четверти. Исходная функция — косинус. Косинус в III четверти имеет знак «минус». Следовательно, результат будет со знаком «минус».

Правило 2: Определение названия конечной функции (правило "кивков")

Этот шаг определяет, изменится ли название функции на "кофункцию" ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$). Правило связано с положением опорного угла на тригонометрической окружности:

• Если в аргументе функции содержатся углы, лежащие на горизонтальной оси ($\pi$, $2\pi$, $...$, $k\pi$ при целом $k$), то название функции не меняется. Это можно запомнить как кивок головой вдоль горизонтальной оси, означающий "нет".
• Если в аргументе функции содержатся углы, лежащие на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $...$, $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ при целом $k$), то название функции меняется на кофункцию. Это можно запомнить как кивок головой вдоль вертикальной оси, означающий "да".

Применение правил на примерах:

1. Преобразовать $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция $\sin$ во II четверти положительна. Значит, у результата будет знак «плюс».
• Определяем функцию: Опорный угол $\frac{\pi}{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому функция $\sin$ меняется на кофункцию $\cos$.
• Итог: $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = +\cos(\alpha)$

2. Преобразовать $\cot(\pi - \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти. Исходная функция $\cot$ во II четверти отрицателен. Значит, у результата будет знак «минус».
• Определяем функцию: Опорный угол $\pi$ лежит на горизонтальной оси, поэтому функция $\cot$ не меняется.
• Итог: $\cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha)$

3. Преобразовать $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

• Определяем знак: Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти. Исходная функция $\cos$ в III четверти отрицательна. Значит, у результата будет знак «минус».
• Определяем функцию: Опорный угол $\frac{3\pi}{2}$ лежит на вертикальной оси, поэтому функция $\cos$ меняется на кофункцию $\sin$.
• Итог: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha)$

Ответ: Мнемоническое правило для формул приведения состоит из двух шагов:
1. Знак результата определяется по знаку исходной функции в той четверти, в которой находится исходный угол (считая $\alpha$ острым).
2. Название функции меняется на кофункцию ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\tan \leftrightarrow \cot$), если опорный угол лежит на вертикальной оси ($\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$), и не меняется, если опорный угол лежит на горизонтальной оси ($\pi, 2\pi$).

9. Записать формулы сложения для косинуса; синуса; тангенса.

Косинуса

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Синуса

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Тангенса

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

Формулы сложения для косинуса

Формулы сложения для косинуса, также известные как формулы косинуса суммы и косинуса разности, позволяют выразить косинус от суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции этих углов. Для косинуса суммы углов из произведения косинусов вычитается произведение синусов. Для косинуса разности, наоборот, к произведению косинусов прибавляется произведение синусов.

Ответ:
Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Формулы сложения для синуса

Формулы сложения для синуса, или формулы синуса суммы и синуса разности, выражают синус от суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через синусы и косинусы самих углов. В отличие от формул для косинуса, здесь используются смешанные произведения (синус на косинус), а знак в правой части сохраняется: плюс для суммы углов и минус для разности.

Ответ:
Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Формулы сложения для тангенса

Формулы сложения для тангенса выводятся из формул сложения для синуса и косинуса с использованием тождества $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Они позволяют найти тангенс суммы или разности двух углов, зная тангенсы этих углов. Формулы справедливы при условии, что все входящие в них тангенсы существуют (то есть углы не равны $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$) и знаменатель в формуле не обращается в ноль.

Ответ:
Тангенс суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$
Тангенс разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$

10. Как, зная формулы сложения для синуса, косинуса и тангенса, получить формулы двойного угла? Записать эти формулы.

Формулы двойного угла выводятся напрямую из формул сложения для соответствующих тригонометрических функций. Основная идея состоит в том, чтобы в формулах сложения для двух углов, скажем $\alpha$ и $\beta$, положить эти углы равными: $\beta = \alpha$. В результате сумма углов $\alpha + \beta$ превращается в двойной угол $\alpha + \alpha = 2\alpha$.

Вывод формулы синуса двойного угла

Используем формулу сложения для синуса:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

В этой формуле заменим угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$

После приведения подобных слагаемых в правой части равенства получаем формулу синуса двойного угла.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Вывод формулы косинуса двойного угла

Используем формулу сложения для косинуса:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Заменим в этой формуле угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha$

Таким образом, мы получаем основную формулу для косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Эту формулу можно представить в двух других видах, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

1. Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через косинус, заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

2. Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через синус, заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

Вывод формулы тангенса двойного угла

Используем формулу сложения для тангенса:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

Заменим в этой формуле угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\alpha}$

После упрощения выражения в правой части получаем формулу тангенса двойного угла.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

11. Записать формулы синуса, косинуса, тангенса половинного угла.

Формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла (также известные как формулы понижения степени) позволяют выразить тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они выводятся из формул косинуса двойного угла: $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$.

Для нахождения синуса половинного угла используется формула $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Выразив из нее синус в квадрате, получаем: $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$.

Далее извлекается квадратный корень. Знак (плюс или минус) перед корнем необходимо выбирать в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Если угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в I или II четверти, синус положителен (выбирается знак «+»), если в III или IV — отрицателен (выбирается знак «−»).

Ответ: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$

Для нахождения косинуса половинного угла используется формула $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$. Выразив из нее косинус в квадрате, получаем: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$.

После извлечения квадратного корня получается искомая формула. Знак (плюс или минус) перед корнем зависит от четверти, в которой расположен угол $\frac{\alpha}{2}$. Если угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в I или IV четверти, косинус положителен (знак «+»), если во II или III — отрицателен (знак «−»).

Ответ: $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$

Формулу тангенса половинного угла можно получить несколькими способами. Первый способ — разделить формулу синуса половинного угла на формулу косинуса: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

В результате получается формула: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}}$. Знак (плюс или минус) определяется знаком тангенса в четверти, где находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Также существуют две другие, часто более удобные формулы, не содержащие квадратных корней и неоднозначности выбора знака. Они выводятся отдельно или из предыдущей формулы:

1. $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

2. $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Все три представленные формулы эквивалентны в области их определения.

Ответ: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

12. Записать формулы преобразования суммы и разности синусов и косинусов в произведение.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение используются для упрощения выражений, решения уравнений и в других задачах тригонометрии. Они позволяют перейти от алгебраической суммы синусов или косинусов к их произведению.

Сумма синусов. Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
Ответ: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность синусов. Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
Ответ: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Сумма косинусов. Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности.
Ответ: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Разность косинусов. Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком минус удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Ответ: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

13. Записать формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность выводятся из формул сложения и вычитания аргументов. Эти формулы полезны при интегрировании, решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений. Существует три основные формулы для преобразования произведения синусов и косинусов в сумму.

Произведение косинусов

Произведение косинусов двух углов $\alpha$ и $\beta$ преобразуется в сумму косинусов по следующей формуле. Она является следствием сложения формул косинуса суммы и косинуса разности: $\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta$.

Ответ: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$

Произведение синусов

Произведение синусов двух углов $\alpha$ и $\beta$ преобразуется в разность косинусов. Эта формула получается путем вычитания формулы косинуса суммы из формулы косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin \alpha \sin \beta$.

Ответ: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

Произведение синуса на косинус

Произведение синуса угла $\alpha$ на косинус угла $\beta$ преобразуется в сумму синусов. Формула выводится из сложения формул синуса суммы и синуса разности: $\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$.

Ответ: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$