Номер 10, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Как, зная формулы сложения для синуса, косинуса и тангенса, получить формулы двойного угла? Записать эти формулы.

Формулы двойного угла выводятся напрямую из формул сложения для соответствующих тригонометрических функций. Основная идея состоит в том, чтобы в формулах сложения для двух углов, скажем $\alpha$ и $\beta$, положить эти углы равными: $\beta = \alpha$. В результате сумма углов $\alpha + \beta$ превращается в двойной угол $\alpha + \alpha = 2\alpha$.

Вывод формулы синуса двойного угла

Используем формулу сложения для синуса:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

В этой формуле заменим угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha$

После приведения подобных слагаемых в правой части равенства получаем формулу синуса двойного угла.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Вывод формулы косинуса двойного угла

Используем формулу сложения для косинуса:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

Заменим в этой формуле угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha$

Таким образом, мы получаем основную формулу для косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Эту формулу можно представить в двух других видах, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

1. Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через косинус, заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

2. Чтобы выразить $\cos(2\alpha)$ только через синус, заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2\alpha) - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

Вывод формулы тангенса двойного угла

Используем формулу сложения для тангенса:

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

Заменим в этой формуле угол $\beta$ на угол $\alpha$:

$\tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\alpha}$

После упрощения выражения в правой части получаем формулу тангенса двойного угла.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$