Номер 4, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Какие зависимости существуют между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла?

Между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла $\alpha$ существуют несколько фундаментальных зависимостей, которые называются тригонометрическими тождествами. Они позволяют, зная значение одной из этих функций, находить значения двух других (с учетом знака, который зависит от четверти, в которой находится угол).

Вот основные из этих зависимостей:

Основное тригонометрическое тождество

Это ключевое соотношение, связывающее синус и косинус. Оно следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катеты которого равны $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, а гипотенуза равна 1 (в контексте единичной окружности). Равенство гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла всегда равна единице.

Ответ: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Определение тангенса

Тангенс угла по определению является отношением синуса этого угла к его косинусу. Эта зависимость является определением тангенса и позволяет вычислить его, если известны синус и косинус. Важно помнить, что это тождество имеет смысл только тогда, когда косинус угла не равен нулю, то есть при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Связь тангенса и косинуса

Это тождество является следствием двух предыдущих. Его можно получить, если разделить обе части основного тригонометрического тождества ($\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$) на $\cos^2\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Так как $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:

$\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Это тождество очень полезно для нахождения косинуса (а затем и синуса) по известному тангенсу.

Ответ: $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$