Номер 11, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Записать формулы синуса, косинуса, тангенса половинного угла.

Формулы синуса, косинуса и тангенса половинного угла (также известные как формулы понижения степени) позволяют выразить тригонометрические функции угла $\frac{\alpha}{2}$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они выводятся из формул косинуса двойного угла: $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$ и $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$.

Для нахождения синуса половинного угла используется формула $\cos(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$. Выразив из нее синус в квадрате, получаем: $\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{2}$.

Далее извлекается квадратный корень. Знак (плюс или минус) перед корнем необходимо выбирать в зависимости от того, в какой координатной четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Если угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в I или II четверти, синус положителен (выбирается знак «+»), если в III или IV — отрицателен (выбирается знак «−»).

Ответ: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}$

Для нахождения косинуса половинного угла используется формула $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1$. Выразив из нее косинус в квадрате, получаем: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\alpha)}{2}$.

После извлечения квадратного корня получается искомая формула. Знак (плюс или минус) перед корнем зависит от четверти, в которой расположен угол $\frac{\alpha}{2}$. Если угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в I или IV четверти, косинус положителен (знак «+»), если во II или III — отрицателен (знак «−»).

Ответ: $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}$

Формулу тангенса половинного угла можно получить несколькими способами. Первый способ — разделить формулу синуса половинного угла на формулу косинуса: $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

В результате получается формула: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}}$. Знак (плюс или минус) определяется знаком тангенса в четверти, где находится угол $\frac{\alpha}{2}$.

Также существуют две другие, часто более удобные формулы, не содержащие квадратных корней и неоднозначности выбора знака. Они выводятся отдельно или из предыдущей формулы:

1. $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}$

2. $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$

Все три представленные формулы эквивалентны в области их определения.

Ответ: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)}} = \frac{\sin(\alpha)}{1 + \cos(\alpha)} = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$