Номер 3, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Упростить выражение:

1) $\sin(\alpha - \beta) - \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \sin(-\beta);$

2) $\cos^2(\pi - \alpha) - \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right);$

3) $2\sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta).$

1) Упростим выражение $sin(\alpha - \beta) - sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot sin(-\beta)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся основными тригонометрическими тождествами:

• Формула синуса разности углов: $sin(\alpha - \beta) = sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$.
• Формула приведения для синуса: $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos\alpha$.
• Свойство нечетности функции синуса: $sin(-\beta) = -sin\beta$.

Подставим эти тождества в исходное выражение:

$(sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta) - (cos\alpha) \cdot (-sin\beta)$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta + cos\alpha sin\beta$

Слагаемые $-cos\alpha sin\beta$ и $+cos\alpha sin\beta$ взаимно уничтожаются. В результате остается:

$sin\alpha cos\beta$

Ответ: $sin\alpha cos\beta$.

2) Упростим выражение $cos^2(\pi - \alpha) - cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Применим формулы приведения:

• $cos(\pi - \alpha) = -cos\alpha$. Так как косинус возводится в квадрат, получаем: $cos^2(\pi - \alpha) = (-cos\alpha)^2 = cos^2\alpha$.
• $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin\alpha$. Соответственно, $cos^2(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin^2\alpha$.

Подставим преобразованные части обратно в выражение:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла:

$cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$

Ответ: $cos(2\alpha)$.

3) Упростим выражение $2sin\alpha sin\beta + cos(\alpha + \beta)$.

Используем формулу косинуса суммы углов:

• $cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$2sin\alpha sin\beta + (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = (2sin\alpha sin\beta - sin\alpha sin\beta) + cos\alpha cos\beta$

$sin\alpha sin\beta + cos\alpha cos\beta$

Это выражение можно переписать как $cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$, что является формулой косинуса разности углов:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = cos(\alpha - \beta)$

Ответ: $cos(\alpha - \beta)$.