Номер 4, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Доказать тождество:

1) $3\cos2\alpha + \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\cos2\alpha$;

2) $\frac{\sin5\alpha - \sin3\alpha}{2\cos4\alpha} = \sin\alpha$.

1) Для доказательства тождества $3\cos(2\alpha) + \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\cos(2\alpha)$ преобразуем его левую часть.
Сначала рассмотрим выражение $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$. Вынесем за скобки $-1$:
$\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)$.
Используем известную формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Подставив эту формулу, получим: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$.
Теперь вернемся к левой части исходного тождества и заменим в ней выражение $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$:
$3\cos(2\alpha) + (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) = 3\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha)$.
Приводя подобные слагаемые, получаем:
$3\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)$.
Левая часть тождества равна правой ($2\cos(2\alpha) = 2\cos(2\alpha)$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\frac{\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)}{2\cos(4\alpha)} = \sin(\alpha)$ преобразуем его левую часть.
Для преобразования числителя дроби воспользуемся формулой разности синусов:
$\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
Применим эту формулу к выражению $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)$, где $x=5\alpha$ и $y=3\alpha$:
$\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\cos\left(\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{2\alpha}{2}\right) = 2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$.
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$\frac{2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)}{2\cos(4\alpha)}$.
При условии, что $\cos(4\alpha) \neq 0$ (область допустимых значений), мы можем сократить дробь на общий множитель $2\cos(4\alpha)$:
$\sin(\alpha)$.
Левая часть тождества равна правой ($\sin(\alpha) = \sin(\alpha)$), следовательно, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.