Номер 9, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Записать формулы сложения для косинуса; синуса; тангенса.

Косинуса

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Синуса

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

Тангенса

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$

Формулы сложения для косинуса

Формулы сложения для косинуса, также известные как формулы косинуса суммы и косинуса разности, позволяют выразить косинус от суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через тригонометрические функции этих углов. Для косинуса суммы углов из произведения косинусов вычитается произведение синусов. Для косинуса разности, наоборот, к произведению косинусов прибавляется произведение синусов.

Ответ:
Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Формулы сложения для синуса

Формулы сложения для синуса, или формулы синуса суммы и синуса разности, выражают синус от суммы или разности двух углов ($\alpha$ и $\beta$) через синусы и косинусы самих углов. В отличие от формул для косинуса, здесь используются смешанные произведения (синус на косинус), а знак в правой части сохраняется: плюс для суммы углов и минус для разности.

Ответ:
Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Формулы сложения для тангенса

Формулы сложения для тангенса выводятся из формул сложения для синуса и косинуса с использованием тождества $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Они позволяют найти тангенс суммы или разности двух углов, зная тангенсы этих углов. Формулы справедливы при условии, что все входящие в них тангенсы существуют (то есть углы не равны $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$) и знаменатель в формуле не обращается в ноль.

Ответ:
Тангенс суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$
Тангенс разности: $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta}$