Номер 3, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Дать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Тригонометрические функции угла можно определить двумя основными способами: через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике (для острых углов) и с помощью единичной окружности (для любого угла).

Синус

В прямоугольном треугольнике синусом острого угла $\alpha$ называется отношение длины катета, противолежащего этому углу, к длине гипотенузы.

На единичной окружности (окружность с радиусом $R=1$ и центром в начале координат) синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P(x, y)$, полученной в результате поворота точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки.

Ответ: Синус угла $\alpha$ – это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Формула: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

Косинус

В прямоугольном треугольнике косинусом острого угла $\alpha$ называется отношение длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы.

На единичной окружности косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P(x, y)$, полученной в результате поворота точки $(1, 0)$ на угол $\alpha$.

Ответ: Косинус угла $\alpha$ – это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Формула: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$.

Тангенс

В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Тангенс также определяется как отношение синуса угла к его косинусу. Это определение является более общим. Тангенс определён для всех углов $\alpha$, кроме тех, где $\cos \alpha = 0$, то есть $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число.

Ответ: Тангенс угла $\alpha$ – это отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, или отношение синуса к косинусу. Формула: $\tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Котангенс

В прямоугольном треугольнике котангенсом острого угла $\alpha$ называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

Котангенс также определяется как отношение косинуса угла к его синусу (или как величина, обратная тангенсу). Котангенс определён для всех углов $\alpha$, кроме тех, где $\sin \alpha = 0$, то есть $\alpha \neq \pi k$, где $k$ – любое целое число.

Ответ: Котангенс угла $\alpha$ – это отношение прилежащего катета к противолежащему в прямоугольном треугольнике, или отношение косинуса к синусу. Формула: $\cot \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.