Номер 1139, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1139. 1) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$;

2) $\sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha = \frac{1}{32}(\cos^2 4\alpha + 14\cos4\alpha + 17).$

1) Для доказательства тождества $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + \cos^4\alpha)$

Так как, согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, выражение упрощается:

$1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Преобразуем сумму $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, выделив полный квадрат:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha)^2 + (\cos^2\alpha)^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Подставим это обратно в наше выражение:

$(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\frac{\sin(2\alpha)}{2})^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}$.

$1 - 3 \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2\alpha)$

Далее применим формулу понижения степени для синуса $\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$. Для $x = 2\alpha$ получим $\sin^2(2\alpha) = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}$:

$1 - \frac{3}{4} \left( \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2} \right) = 1 - \frac{3(1 - \cos(4\alpha))}{8}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{8}{8} - \frac{3 - 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{8 - 3 + 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{5 + 3\cos(4\alpha)}{8} = \frac{1}{8}(5 + 3\cos(4\alpha))$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = \frac{1}{8}(5 + 3\cos4\alpha)$ доказано.

2) Для доказательства тождества $\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = \frac{1}{32}(\cos^24\alpha + 14\cos4\alpha + 17)$ преобразуем его левую часть.

Представим левую часть в виде суммы квадратов:

$\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = (\sin^4\alpha)^2 + (\cos^4\alpha)^2$

Применим формулу $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$:

$(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)^2 - 2\sin^4\alpha\cos^4\alpha$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)$.

Выражение $2\sin^4\alpha\cos^4\alpha$ можно преобразовать так: $2(\sin\alpha\cos\alpha)^4 = 2\left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^4 = 2\frac{\sin^4(2\alpha)}{16} = \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$.

Подставим полученные выражения:

$\left(1 - \frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)^2 - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$

Раскроем скобки и упростим:

$1 - 2\cdot\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha) + \left(\frac{1}{2}\sin^2(2\alpha)\right)^2 - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^4(2\alpha) - \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha) + \frac{1}{8}\sin^4(2\alpha)$

Теперь выразим все через $\cos(4\alpha)$, используя формулы понижения степени:

$\sin^2(2\alpha) = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}$

$\sin^4(2\alpha) = (\sin^2(2\alpha))^2 = \left(\frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{4}$

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$1 - \left(\frac{1 - \cos(4\alpha)}{2}\right) + \frac{1}{8}\left(\frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{4}\right) = 1 - \frac{1 - \cos(4\alpha)}{2} + \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю 32:

$\frac{32}{32} - \frac{16(1 - \cos(4\alpha))}{32} + \frac{1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{32 - 16(1 - \cos(4\alpha)) + 1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{32 - 16 + 16\cos(4\alpha) + 1 - 2\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Сгруппируем подобные члены:

$\frac{(32 - 16 + 1) + (16\cos(4\alpha) - 2\cos(4\alpha)) + \cos^2(4\alpha)}{32} = \frac{17 + 14\cos(4\alpha) + \cos^2(4\alpha)}{32}$

Перепишем в виде, указанном в условии:

$\frac{1}{32}(\cos^2(4\alpha) + 14\cos(4\alpha) + 17)$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^8\alpha + \cos^8\alpha = \frac{1}{32}(\cos^24\alpha + 14\cos4\alpha + 17)$ доказано.