Номер 1136, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1136. $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha + \cos5\alpha} = \operatorname{tg}3\alpha.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе для дальнейшего применения формул суммы тригонометрических функций.

Левая часть: $ \frac{(\sin\alpha + \sin5\alpha) + \sin3\alpha}{(\cos\alpha + \cos5\alpha) + \cos3\alpha} $

Воспользуемся формулами преобразования суммы в произведение:

Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Применим эти формулы к числителю:

$ \sin\alpha + \sin5\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\sin3\alpha\cos2\alpha $

Теперь выражение в числителе примет вид:

$ 2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin3\alpha $ за скобки:

$ \sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $

Аналогично преобразуем знаменатель:

$ \cos\alpha + \cos5\alpha = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} = 2\cos3\alpha\cos2\alpha $

Выражение в знаменателе примет вид:

$ 2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha $

Вынесем общий множитель $ \cos3\alpha $ за скобки:

$ \cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} $

Сократим общий множитель $ (2\cos2\alpha + 1) $, при условии, что он не равен нулю (то есть $ \cos2\alpha \neq -\frac{1}{2} $). Также необходимо, чтобы знаменатель $ \cos3\alpha \neq 0 $, что соответствует области определения тангенса в правой части тождества.

После сокращения получаем:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} $

По определению тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, следовательно:

$ \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \tan3\alpha $

Мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.