Номер 1129, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1129. Упростить выражение $(\frac{\cos\beta}{\sin\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\alpha}) \cdot \frac{1 - \cos4\alpha}{\cos(\pi - \beta + \alpha)}$

Для упрощения данного выражения выполним преобразования по частям. Сначала преобразуем первый множитель, представляющий собой сумму двух дробей в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$\frac{\cos\beta}{\sin\alpha} + \frac{\sin\beta}{\cos\alpha} = \frac{\cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе мы видим формулу косинуса разности углов: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. Применив ее, получаем:

$\frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\beta - \alpha)$. Для удобства дальнейших сокращений будем использовать форму $\cos(\beta - \alpha)$.

Таким образом, первый множитель равен: $\frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$.

Теперь преобразуем второй множитель $\frac{1 - \cos4\alpha}{\cos(\pi - \beta + \alpha)}$.

Числитель $1 - \cos4\alpha$ можно упростить, используя формулу понижения степени (или формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Полагая $x = 2\alpha$, получаем:

$1 - \cos4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Знаменатель $\cos(\pi - \beta + \alpha)$ преобразуем с помощью формулы приведения. Сгруппируем слагаемые: $\cos(\pi - (\beta - \alpha))$. Так как $\cos(\pi - x) = -\cos x$, то:

$\cos(\pi - (\beta - \alpha)) = -\cos(\beta - \alpha)$

Итак, второй множитель равен: $\frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\beta - \alpha)}$.

Теперь перемножим преобразованные части выражения:

$\left(\frac{\cos(\beta - \alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\beta - \alpha)}\right) = -\frac{\cos(\beta - \alpha) \cdot 2\sin^2(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha \cdot \cos(\beta - \alpha)}$

Сокращаем дробь на $\cos(\beta - \alpha)$ (при условии, что $\cos(\beta - \alpha) \neq 0$):

$-\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$. Подставим это в знаменатель:

$-\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = -2\sin^2(2\alpha) \cdot \frac{2}{\sin(2\alpha)}$

Сокращаем на $\sin(2\alpha)$ (при условии, что $\sin(2\alpha) \neq 0$):

$-2\sin(2\alpha) \cdot 2 = -4\sin(2\alpha)$

Ответ: $-4\sin(2\alpha)$