Номер 1122, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упростить выражение (1122—1123).

1122.

1) $(\frac{1 + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} - \sin \alpha) \frac{1}{2} \text{tg} \alpha;$

2) $\text{ctg} \alpha (\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha)$

1) Упростим выражение $ \left(\frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha\right) \frac{1}{2}\tg\alpha $.

Сначала выполним действие в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha $:
$ \frac{1+\cos^2\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha = \frac{1+\cos^2\alpha - \sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1+\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha} $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $. Из него можно выразить $ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $. Подставим это выражение в числитель полученной дроби:
$ 1+\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 + \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 1 + \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha = 2\cos^2\alpha $

Таким образом, выражение в скобках равно:
$ \frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \frac{1}{2}\tg\alpha $. Вспомним, что по определению $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:
$ \left(\frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha}\right) \cdot \frac{1}{2}\tg\alpha = \frac{2\cos^2\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе ($2$, $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $):
$ \frac{\cancel{2}\cos^{\cancel{2}}\alpha}{\cancel{\sin\alpha}} \cdot \frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{\sin\alpha}}{\cancel{\cos\alpha}} = \cos\alpha $

Ответ: $ \cos\alpha $

2) Упростим выражение $ \ctg\alpha \left(\frac{1+\sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \cos\alpha\right) $.

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $ \cos\alpha $:
$ \frac{1+\sin^2\alpha}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \frac{1+\sin^2\alpha - \cos\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1+\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\cos\alpha} $

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, из которого следует, что $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $. Подставим это в числитель:
$ 1+\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 1 + \sin^2\alpha - (1 - \sin^2\alpha) = 1 + \sin^2\alpha - 1 + \sin^2\alpha = 2\sin^2\alpha $

Значит, выражение в скобках равно:
$ \frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha} $

Теперь умножим полученный результат на $ \ctg\alpha $. По определению $ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \ctg\alpha \cdot \left(\frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha}\right) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{2\sin^2\alpha}{\cos\alpha} $

Сократим $ \cos\alpha $ в числителе и знаменателе, а также $ \sin\alpha $:
$ \frac{\cancel{\cos\alpha}}{\cancel{\sin\alpha}} \cdot \frac{2\sin^{\cancel{2}}\alpha}{\cancel{\cos\alpha}} = 2\sin\alpha $

Ответ: $ 2\sin\alpha $