Номер 1117, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1117. Доказать тождество:

1) $ \sin \alpha \sin \beta \sin(\beta - \alpha) + \sin \beta \sin \gamma \sin(\gamma - \beta) + \sin \gamma \sin \alpha \sin(\alpha - \gamma) = \sin(\alpha - \beta)\sin(\beta - \gamma)\sin(\gamma - \alpha); $

2) $ \sin^2 \alpha + \sin^2 3\alpha + \cos 2\alpha \cos 4\alpha + \cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha - 1 = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha}; $

3) $ \frac{\sin \frac{5\alpha}{2}}{2\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{2} + \cos \alpha + \cos 2\alpha. $

1) Докажем тождество:
$ \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\beta\sin\gamma\sin(\gamma-\beta) + \sin\gamma\sin\alpha\sin(\alpha-\gamma) = \sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $

Обозначим левую часть тождества как L. Сгруппируем второе и третье слагаемые и вынесем общий множитель $\sin\gamma$:
$ L = \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\gamma(\sin\beta\sin(\gamma-\beta) + \sin\alpha\sin(\alpha-\gamma)) $

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы синуса разности и группируя слагаемые:
$ \sin\beta(\sin\gamma\cos\beta - \cos\gamma\sin\beta) + \sin\alpha(\sin\alpha\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma) = $
$ = \sin\beta\cos\beta\sin\gamma - \sin^2\beta\cos\gamma + \sin^2\alpha\cos\gamma - \sin\alpha\cos\alpha\sin\gamma $
$ = \cos\gamma(\sin^2\alpha - \sin^2\beta) - \sin\gamma(\sin\alpha\cos\alpha - \sin\beta\cos\beta) $

Применим формулу разности квадратов синусов $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ и формулы двойного угла $\sin(2A)=2\sin A \cos A$:
$ \sin\alpha\cos\alpha - \sin\beta\cos\beta = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) - \frac{1}{2}\sin(2\beta) = \frac{1}{2}(2\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)) = \cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) $
Тогда выражение в скобках равно:
$ \cos\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta) - \sin\gamma\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) $
Вынесем общий множитель $\sin(\alpha-\beta)$:
$ = \sin(\alpha-\beta)[\cos\gamma\sin(\alpha+\beta) - \sin\gamma\cos(\alpha+\beta)] $
Применив формулу синуса разности $\sin(A-B)=\sin A \cos B - \cos A \sin B$, получаем:
$ = \sin(\alpha-\beta)\sin((\alpha+\beta)-\gamma) = \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $

Подставим это обратно в выражение для L:
$ L = \sin\alpha\sin\beta\sin(\beta-\alpha) + \sin\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $
Используя $\sin(\beta-\alpha) = -\sin(\alpha-\beta)$, вынесем $\sin(\alpha-\beta)$ за скобки:
$ L = -\sin\alpha\sin\beta\sin(\alpha-\beta) + \sin\gamma\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta-\gamma) $
$ L = \sin(\alpha-\beta)[-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\sin(\alpha+\beta-\gamma)] $

Теперь преобразуем выражение во вторых скобках. Наша цель — показать, что оно равно $\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha)$.
Раскроем $\sin(\alpha+\beta-\gamma)$ как синус разности:
$ [-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma(\sin(\alpha+\beta)\cos\gamma - \cos(\alpha+\beta)\sin\gamma)] $
$ = -\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\cos\gamma\sin(\alpha+\beta) - \sin^2\gamma\cos(\alpha+\beta) $
$ = -\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\cos\gamma(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \sin^2\gamma(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $
$ = \sin\alpha\sin\beta(-1+\sin^2\gamma) + \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\cos\gamma - \cos\alpha\cos\beta\sin^2\gamma $
$ = -\sin\alpha\sin\beta\cos^2\gamma + \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma\cos\gamma - \cos\alpha\cos\beta\sin^2\gamma $

С другой стороны, раскроем произведение $\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha)$:
$ (\sin\beta\cos\gamma - \cos\beta\sin\gamma)(\sin\gamma\cos\alpha - \cos\gamma\sin\alpha) $
$ = \sin\beta\cos\gamma\sin\gamma\cos\alpha - \sin\beta\cos^2\gamma\sin\alpha - \cos\beta\sin^2\gamma\cos\alpha + \cos\beta\sin\gamma\cos\gamma\sin\alpha $
Сравнивая два полученных выражения, видим, что они идентичны.
Таким образом, $ [-\sin\alpha\sin\beta + \sin\gamma\sin(\alpha+\beta-\gamma)] = \sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $.

Окончательно для L получаем:
$ L = \sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma)\sin(\gamma-\alpha) $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество:
$ \sin^2\alpha + \sin^2 3\alpha + \cos 2\alpha \cos 4\alpha + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha - 1 = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha} $

Преобразуем левую часть (LHS). Используем формулы понижения степени $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ и произведения косинусов $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B)+\cos(A+B))$.

Сначала преобразуем первые два слагаемых и последнее:
$ \sin^2\alpha + \sin^2 3\alpha - 1 = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} + \frac{1-\cos 6\alpha}{2} - 1 $
$ = \frac{1 - \cos 2\alpha + 1 - \cos 6\alpha - 2}{2} = \frac{-\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{2} = -\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) $

Теперь преобразуем третье слагаемое:
$ \cos 2\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(4\alpha-2\alpha) + \cos(4\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) $

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:
$ LHS = \left(-\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\right) + \left(\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 6\alpha)\right) + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha $
$ LHS = 0 + \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha = \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha $

Мы получили сумму косинусов, углы которых составляют арифметическую прогрессию. Для нахождения этой суммы $S$ домножим и разделим ее на $2\sin\alpha$:
$ S = \frac{( \cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha ) \cdot 2\sin\alpha}{2\sin\alpha} $
Используем формулу $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:
$ S = \frac{2\cos\alpha\sin\alpha + 2\cos 3\alpha\sin\alpha + 2\cos 5\alpha\sin\alpha}{2\sin\alpha} $
$ S = \frac{\sin 2\alpha + (\sin 4\alpha - \sin 2\alpha) + (\sin 6\alpha - \sin 4\alpha)}{2\sin\alpha} $
В числителе слагаемые взаимно уничтожаются (телескопическая сумма):
$ S = \frac{\cancel{\sin 2\alpha} + \cancel{\sin 4\alpha} - \cancel{\sin 2\alpha} + \sin 6\alpha - \cancel{\sin 4\alpha}}{2\sin\alpha} = \frac{\sin 6\alpha}{2\sin\alpha} $
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество:
$ \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha $

Преобразуем правую часть (RHS). Она представляет собой частный случай суммы Дирихле. Обозначим ее как $S$:
$ S = \frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha $
Домножим и разделим $S$ на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:
$ S = \frac{(\frac{1}{2} + \cos\alpha + \cos 2\alpha) \cdot 2\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Раскроем скобки в числителе:
$ S = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
$ S = \frac{\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Применим формулу $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:
$ 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} = \sin(\alpha+\frac{\alpha}{2}) - \sin(\alpha-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} $
$ 2\cos 2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} = \sin(2\alpha+\frac{\alpha}{2}) - \sin(2\alpha-\frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2} $
Подставим это в числитель:
$ S = \frac{\sin\frac{\alpha}{2} + (\sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}) + (\sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2})}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Слагаемые в числителе взаимно уничтожаются:
$ S = \frac{\cancel{\sin\frac{\alpha}{2}} + \cancel{\sin\frac{3\alpha}{2}} - \cancel{\sin\frac{\alpha}{2}} + \sin\frac{5\alpha}{2} - \cancel{\sin\frac{3\alpha}{2}}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{5\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}} $
Правая часть равна левой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.