Номер 1118, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VIII. Глава VIII. Тригонометрические формулы - номер 1118, страница 317.

Условие.

1118. Найти:

1) cos$\alpha$, если sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

2) tg$\alpha$, если cos$\alpha$ = $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) sin$\alpha$, если tg$\alpha$ = $2\sqrt{2}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

4) cos$\alpha$, если ctg$\alpha$ = 2 и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для нахождения $\cos\alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Из него следует, что $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.
Подставим известное значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком минус: $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2) Для нахождения $\tg\alpha$ применим тригонометрическое тождество $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из него $\tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$:
$\tg^2\alpha = \frac{1}{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} - 1 = \frac{1}{\frac{5}{9}} - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$.
Отсюда $\tg\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти тангенс имеет положительный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком плюс: $\tg\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3) Для нахождения $\sin\alpha$ сначала найдем $\cos\alpha$ с помощью тождества $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Из него $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha}$.
Подставим известное значение $\tg\alpha = 2\sqrt{2}$:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\frac{1}{3}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти косинус имеет положительный знак. Значит, $\cos\alpha = \frac{1}{3}$.
Теперь используем определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha$.
$\sin\alpha = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

4) Для нахождения $\cos\alpha$, зная $\ctg\alpha$, сначала найдем $\tg\alpha = \frac{1}{\ctg\alpha}$.
$\tg\alpha = \frac{1}{2}$.
Далее воспользуемся тождеством $1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Отсюда $\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tg^2\alpha}$.
Подставим значение тангенса:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Согласно условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус имеет отрицательный знак.
Таким образом, выбираем значение со знаком минус: $\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.