Номер 1124, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1124. Доказать тождество:

1) $1 + \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$;

2) $\mathrm{tg}\alpha - \mathrm{tg}\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся определением тангенса: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$1 + \text{tg}\,\alpha \text{tg}\,\beta = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$1 + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} + \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Числитель дроби представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Подставим эту формулу в полученное выражение:

$\frac{\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Полученное выражение идентично правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано, что $1 + \text{tg}\,\alpha \text{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Снова используем определение тангенса:

$\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos\alpha\cos\beta$:

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta} - \frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$

Числитель дроби представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

Подставим эту формулу в полученное выражение:

$\frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

Полученное выражение идентично правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказано, что $\text{tg}\,\alpha - \text{tg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$.